Задание №867

Не выполняя построения, определите, принадлежит ли графику функции y = 8x − 14 точка:
A(−1;−6);
B(2;2).

Решение:

A(−1;−6):
y = 8x − 14
8 * (−1) − 14 = −6
−8 − 14 = −6
−22 ≠ −6, следовательно через точку A(−1;−6) не проходит график функции.
B(2;2):
y = 8x − 14
8 * 2 − 14 = 2
16 − 14 = 2
2 = 2, следовательно через точку B(2;2) проходит график функции.

Задание №868

Постройте в одной системе координат графики функций y = x − 1 и y = 1/4 x + 2 и найдите координаты точки их пересечения.

Решение:

y = x − 1

y1 = x1 − 1 = 1 − 1 = 0;
y2 = x2 − 1 = 5 − 1 = 4.
y = 1/4 x + 2

y1 = 1/4 x1 + 2 = 1/4 ∗ 0 + 2 = 0 + 2 = 2;
y2 = 1/4 x2 + 2 = 1/4 ∗ − 4 + 2 = − 1 + 2 = 1.

Точка пересечения графиков функций имеет координаты (4;3).

Задание №869

Постройте в одной системе координат графики функций y = 5x − 6 и y = −2x + 1 и найдите координаты точки их пересечения.

Решение:

y = 5x − 6

y1 = 5 x1 − 6 = 5 ∗ 1 − 6 = 5 − 6 = − 1;
y2 = 5 x2 − 6 = 5 ∗ 0 − 6 = 0 − 6 = − 6.

y1 = − 2 x1 + 1 = − 2 ∗ 0 + 1 = 0 + 1 = 1;
y2 = − 2 x2 + 1 = − 2 ∗ − 2 + 1 = 4 + 1 = 5.

Точка пересечения графиков функций имеет координаты (1;−1).

Задание №870

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
1) y = 2,5x + 10;
2) y = 6x − 4.

Решение:

1) График функции пересекается с осью x при y = 0, тогда:
y = 2,5x + 10
2,5x + 10 = 0
2,5x = −10
x = −10 : 2,5
x = −4, следовательно график функции пересекается с осью x в точке (−4;0);
График функции пересекается с осью y при x = 0, тогда:
y = 2,5x + 10 = 2,5 * 0 + 10 = 0 + 10 = 10, следовательно график функции пересекается с осью y в точке (0;10).

2) График функции пересекается с осью x при y = 0, тогда:
y = 6x − 4
6x − 4 = 0
6x = 4
x = 4 : 6
x = 2/3, следовательно график функции пересекается с осью x в точке ( 2/3 ; 0 );
График функции пересекается с осью y при x = 0, тогда:
y = 6x − 4 = 6 * 0 − 4 = 0 − 4 = −4, следовательно график функции пересекается с осью y в точке (0;−4).

Задание №871

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:
1) y = 2 3 x − 4;
2) y = 7 − 3x.

Решение:

1) График функции пересекается с осью x при y = 0, тогда:
y = 2/3 x − 4
2/3 x − 4 = 0
2/3 x = 4
x = 4 : 2/3
x = 4 ∗ 3/2
x = 6, следовательно график функции пересекается с осью x в точке (6;0);
График функции пересекается с осью y при x = 0, тогда:
y = 2/3 x − 4 = 2/3 ∗ 0 − 4 = 0 − 4 = − 4, следовательно график функции пересекается с осью y в точке (0;−4).

2) График функции пересекается с осью x при y = 0, тогда:
y = 7 − 3x
7 − 3x = 0
−3x = −7
x = 7/3
x = 2_1/3, следовательно график функции пересекается с осью x в точке ( 21/3 ; 0 );
График функции пересекается с осью y при x = 0, тогда:
y = 7 − 3x = 7 − 3 * 0 = 7 − 0 = 7, следовательно график функции пересекается с осью y в точке (0;7).

Задание №872

Не выполняя построения графика функции y = 2x − 9, найдите точку этого графика, у которой:
1) абсцисса равна ординате;
2) ордината на 6 больше абсциссы.

Решение:

1) y = 2x − 9
при x = y:
x = 2x − 9
x − 2x = −9
−x = −9
x = 9, следовательно точка графика при которой абсцисса равна ординате равна (9;9).

2) y = 2x − 9
при x + 6 = y:
x + 6 = 2x − 9
x − 2x = −9 − 6
−x = −15
x = 15;
y = x + 6 = 15 + 6 = 21, следовательно точка графика при которой ордината на 6 больше абсциссы равна (15;21).

Задание №873

Не выполняя построения графика функции y = −7x + 8, найдите точку этого графика, у которой абсцисса и ордината − противоположные числа.

Решение:

y = −7x + 8
при y = −x:
−x = −7x + 8
−x + 7x = 8
6x = 8
$x=\frac86=\frac43=1\frac13$
$y=-x=-1\frac13$, следовательно точка графика при которой абсцисса и ордината − противоположные числа равна $(1\frac13;-1\frac13)$.

Задание №874

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:
1) y = 3,7x + 10 и y = 1,4x − 13;
2) y = 4 − 2/7 x и y = 9/7 x + 26.

Решение:

1) 3,7x + 10 = 1,4x − 13
3,7x − 1,4x = −13 − 10
2,3x = −23
x = −23 : 2,3
x = −10;
y = 3,7x + 10 = 3,7 * −10 + 10 = −37 + 10 = −27, следовательно точка пересечения графиков функции имеет координаты: (−10;−27).

2) 4 − 2/7 x = 9/7 x + 26
− 2/7 x − 9/7 x = 26 − 4
− 11/7 x = 22
x = 22 : − 11/7
x = 22 ∗ − 7/11
x = −14;
y = 4 − 2/7 x = 4 − 2/7 ∗ (− 14) = 4 + 4 = 8, следовательно точка пересечения графиков функции имеет координаты: (−14;8).

Задание №875

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:
y = 4x − 7 и y = −2x + 11.

Решение:

4x − 7 = −2x + 11
4x + 2x = 11 + 7
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3, тогда:
y = 4x − 7 = 4 * 3 − 7 = 12 − 7 = 5, следовательно точка пересечения графиков функций имеет координаты: (3; 5).

Задание №876

При каком значении переменной x функции ƒ(x) = 4x − 3 и g(x) = 3x − 2 принимают равные значения? Постройте на одной координатной плоскости графики функции ƒ и g. Определите, при каких значения x:
1) ƒ(x) > g(x);
2) ƒ(x) < g(x).

Решение:

4x − 3 = 3x − 2
4x − 3x = −2 + 3
x = 1, следовательно при x = 1 функции ƒ(x) и g(x) принимают равные значения.

ƒ ( x1 ) = 4 x1 − 3 = 4 ∗ 1 − 3 = 1;
ƒ ( x2 ) = 4 x2 − 3 = 4 ∗ 0 − 3 = − 3.

g ( x1 ) = 3 x1 − 2 = 3 ∗ 1 − 2 = 1;
g ( x2 ) = 3 x2 − 2 = 3 ∗ 0 − 2 = − 2.

1) при x > 1: ƒ(x) > g(x);
2) при x < 1: ƒ(x) < g(x).

Задание №877

При каком значении независимой переменной функции ƒ(x) = 5 − 2x и g(x) = 2x − 3 принимают равные значения? Построив на одной координатной плоскости графики данных функций, установите, при каких значенияx x:
1) ƒ(x) < g(x);
2) ƒ(x) > g(x).

Решение:

5 − 2x = 2x − 3
−2x − 2x = −3 − 5
−4x = −8
x = −8 : −4
x = 2, следовательно при x = 2 функции ƒ(x) и g(x) принимают равные значения.

ƒ ( x1 ) = 5 − 2 x1 = 5 − 2 ∗ 2 = 5 − 4 = 1;
ƒ ( x2 ) = 5 − 2 x2 = 5 − 2 ∗ 0 = 5 − 0 = 5.

g ( x1 ) = 2 x1 − 3 = 2 ∗ 2 − 3 = 4 − 3 = 1;
g ( x2 ) = 2 x2 − 3 = 2 ∗ 0 − 3 = 0 − 3 = − 3.

1) при x > 2: ƒ(x) < g(x);
2) при x < 2: ƒ(x) > g(x).