Задание №810
Функции заданы формулами
y = x2 − 8 x и y = 4 − 8x. При каких значениях аргумента эти функции принимают равные значения?
Решение:
x2 − 8 x = 4 − 8 x
x2 − 8 x + 8 x = 4
x2 = 4
x1 = 2;
x2 = − 2.
Задание №811
Функция задана формулой ƒ(x) = 3x + 5. При каком значении x значение функции равно значению аргумента?
Решение:
ƒ(x) = 3x + 5
3x + 5 = x
3x − x = −5
2x = −5
x = −5 : 2
x = −2,5
Задание №812
Функция задана формулой
y = x2 + 2 x − 1. При каком значении x значение функции равно значению аргумента?
Решение:
y = x2 + 2 x − 1
x2 + 2 x − 1 = 2 x
x2 + 2 x − 2 x = 1
x2 = 1
x1 = 1;
x2 = − 1.
Задание №813
Функция ƒ задана описательно: значение функции равно наибольшему целому числу, которое не превосходит соответствующего значения аргумента. Найдите ƒ(3,7); ƒ(0,64); ƒ(2); ƒ(0); ƒ(−0,35); ƒ(−2,8).
Решение:
ƒ(3,7) = 3;
ƒ(0,64) = 0;
ƒ(2) = 2;
ƒ(0) = 0;
ƒ(−0,35) = −1;
ƒ(−2,8) = −3.
Задание №814
Какое из следующих уравнений:
а) имеет один корень;
б) имеет два корня;
в) имеет бесконечно много корней;
г) не имеет ни одного корня:
1) 3,4(1 + 3x) − 1,2 = 2(1,1 + 5,1x);
2) |2x − 1| = 17,3;
3) 3(|x − 1| − 6) + 21 = 0;
4) 0,2(7 − 2x) = 2,3 − 0,3(x − 6)?
Решение:
1) 3,4(1 + 3x) − 1,2 = 2(1,1 + 5,1x)
3,4 + 10,2x − 1,2 = 2,2 + 10,2x
10,2x − 10,2x = 2,2 + 1,2 − 3,4
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.
2) |2x − 1| = 17,3
2x − 1 = 17,3
2x = 17,3 + 1
2x = 18,3
x = 18,3 : 2
x1 = 9, 15;
2x − 1 = −17,3
2x = −17,3 + 1
2x = −16,3
x = −16,3 : 2
x2 = − 8, 15, уравнение имеет два корня.
3) 3(|x − 1| − 6) + 21 = 0
3|x − 1| − 18 + 21 = 0
3|x − 1| = 18 − 21
3|x − 1| = −3
|x − 1| = −3 : 3
|x − 1| = −1, уравнение не имеет корней.
4) 0,2(7 − 2x) = 2,3 − 0,3(x − 6)
1,4 − 0,4x = 2,3 − 0,3x + 1,8
−0,4x + 0,3x = 2,3 + 1,8 − 1,4
−0,1x = 2,7
x = 2,7 : (−0,1)
x = −27, уравнение имеет один корень.
Задание №815
Даны три числа, из которых каждое следующее на 10 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел.
Решение:
Пусть n − первое число, тогда (n + 10) − второе число, (n + 20) − третье число, а произведение наибольшего и среднего из них на 320 больше произведения наибольшего и наименьшего из этих чисел.
Составим уравнение:
(n + 10)(n + 20) − 320 = n(n + 20)
n2 + 20 n + 10 n + 200 − 320 = n2 + 20 n
n2 − n2 + 20 n + 10 n − 20 n = 320 − 200
10n = 120
n = 120 : 10
n = 12 − первое число;
n + 10 = 12 + 10 = 22 − второе число;
n + 20 = 12 + 20 = 32 − третье число.
Задание №816
Докажите, что если a + c = 2b, то
a2 + 8 b c = ( 2 b + c )2.
Решение:
a2 + 8 b c = ( 2 b + c )2
a2 + 8 b c = 4 b2 + 4 b c + c2
a2 = 4 b2 + 4 b c + c2 − 8 b c
a2 = 4 b2 − 4 b c + c2
a2 = ( 2 b − c )2
Так как a + c = 2b, то:
a2 = ( 2 b − c )2, следовательно:
a = 2b − c.
Задание №817
Известно, что
x + y = a2/4, y + z = −a, x + z = 1. Докажите, что выражение x + y + z принимает только неотрицательные значения.
Решение:
$x+y+z=\frac12\ast2(x+y+z)=\frac12(2x+2y+2z)=\frac12((x+y)+(x+z)+(y+z))=\frac12(\frac{a^2}4+1-a)=\frac12(\frac{a^2}2-1)^2$
$\frac12(\frac{a^2}2-1)^2$, следовательно при любых значениях a выражение x + y + z принимает только неотрицательные значения.
Задание №818
Постройте прямую, проходящую через точки A(−2;3) и B(4;3). Чему равны ординаты точек этой прямой?
Решение:
Ординаты точек прямой AB равны 3.
Задание №819
Постройте прямую, проходящую через точки C(3;0) и D(3; −4). Чему равны абсциссы точек этой прямой?
Решение:
Абсциссы точек прямой CD равны 3.
