Задание №668
Разложите на множители:
1) 2 a b − 3 a b2;
2) 8 x4 + 2 x3;
3) 12 a2 b2 + 6 a2 b3 + 12 a b3;
4) 2 a − 2 b + a c − b c;
5) m2 − m n − 4 m + 4 n;
6) a x − a y + c y − c x − x + y.
Решение:
1) 2 a b − 3 a b2 = a b ( 2 − 3 b )
2) 8 x4 + 2 x3 = 2 x3 ( 4 x + 1 )
3) 12 a2 b2 + 6 a2 b3 + 12 a b3 = 6 a b2 ( 2 a + a b + 2 b )
4) 2 a − 2 b + a c − b c = ( 2 a − 2 b ) + ( a c − b c ) = 2 ( a − b ) + c ( a − b ) = ( a − b ) ( 2 + c )
5) m2 − m n − 4 m + 4 n = ( m2 − m n ) − ( 4 m + 4 n ) = m ( m − n ) − 4 ( m − n ) = ( m − n ) ( m − 4 )
6) a x − a y + c y − c x − x + y = ( a x − a y ) + ( c y − c x ) − ( x − y ) = a ( x − y ) + c ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) ( a + c − 1 )
Задание №669
При некотором значении x значение выражения
3 x2 − x + 7 равно 10.
Какое значение принимает выражение 6 x2 − 2 x + 7 при этом же значении x?
Решение:
3 x2 − x + 7 = 10
3 x2 − x = 10 − 7
3 x2 − x = 3;
6 x2 − 2 x + 7 = 2 ( 3 x2 − x ) + 7 = 2 ∗ 3 + 7 = 6 + 7 = 13
Задание №670
(Старинная болгарская задача.) Семь рыбаков ловили на озере рыбу. Первый ловил рыбу ежедневно, второй через день, третий − через 2 дня и т.д., седьмой − через 6 дней. Через какое наименьшее количество дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере.
Решение:
Чтобы узнать, через какое наименьшее количество дней все 7 рыбаков соберутся вместе на озере, найдем наименьшее общее кратное чисел от 1 до 7.
1 = 1
2 = 2 * 1
3 = 3 * 1
4 = 2 * 2
5 = 5 * 1
6 = 2 * 3
7 = 7 * 1,
НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 2 * 3 * 2 * 5 * 2 * 7 = 420
Значит, через 420 дней все семь рыбаков соберутся вместе на озере.
Ответ: через 420 дней.
Задание №671
Запишите в виде выражения:
1) куб суммы чисел a и b;
2) сумму кубов чисел a и b;
3) разность кубов чисел c и d;
4) куб разности чисел c и d.
Решение:
( a + b )3
2) a3 + b3
3) c3 − d3
4) ( c − d )3
Задание №672
Возведите в куб одночлен:
1) y2;
2) 2 x3;
3) 3 a2 b4;
4) 0, 1 m n5;
5) 1/6 b6 c7;
6) 2/7 b10 c15.
Решение:
1) ( y2 )3 = y6
2) ( 2 x3 )3 = 8 x9
3) ( 3 a2 b4 )3 = 27 a6 b12
4) ( 0, 1 m n5 )3 = 0, 001 m8 n15
5) ( 1/6 b6 c7 )3 = 1/216 b18 c21
6) ( 2/7 b10 c15 )3 = 8/343 b30 c45
Задание №673
Представьте в виде куба одночлена выражение:
1) a3 b6;
2) 8 x3 y9;
3) 1/64 c9;
4) 125 m12 n21;
5) 0, 216 k15 p24;
6) 0, 008 a9 b18 c27.
Решение:
1) a3 b6 = ( a b2 )3
2) 8 x3 y9 = ( 2 x y3 )3
3) 1/64 c9 = ( 1/4 c3 )3
4) 125 m12 n21 = ( 5 m4 n7 )3
5) 0, 216 k15 p24 = ( 0, 6 k5 p8 )3
6) 0, 008 a9 b18 c27 = ( 0, 2 a3 b6 c9 )3
Задание №674
Можно ли натуральные числа от 1 до 32 разбить на три группы так, чтобы произведения чисел каждой группы были равными?
Решение:
Если предположить, что такое разбиение возможно, то значение выражения 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 31 ⋅ 32 = 32! – куб натурального числа. Тогда степень каждого простого множителя, входящего в каноническое разложение числа 32!, кратна 3 (так как 3 группы). Однако это не так. Например, простое число 31 входит в это разложение в первой степени. Это число попадает только в одну группу, а значит только произведение этой группы будет делиться на 31. Это значит, что произведения чисел каждой из трех групп не могут быть равными.
Ответ: нельзя.
