Задание №631

Замените звездочки такими одночленами, чтобы выполнялось тождество:
1) n 2 + 60 n + ∗ = ( ∗ + 30 )2;
2) 25 c2 − ∗ + ∗ = ( ∗ − 8 k )2;
3) 225 a2 − ∗ + 64 b4 = ( ∗ − ∗ )2;
4) 0, 04 x2 + ∗ + ∗ = ( ∗ + 0, 3 y3 )2.

Решение:

1) n2 + 60 n + ∗1 = ( ∗2 + 30 )2
1 = 302 = 900;
( ∗2 )2 = n2
2 = n;
n2 + 60 n + 900 = ( n + 30 )2.

2) 25 c2 − ∗1 + ∗2 = ( ∗3 − 8 k )2
( ∗ 3 )2 = 25 c2
3 = 5 c;
2 = ( 8 k )2 = 64 k 2;
1 = 2 ∗ 5 c ∗ 8 k = 80 c k;
25 c2 − 80 c k + 64 k2 = ( 5 c − 8 k )2.

3) 225 a2 − ∗1 + 64 b4 = ( ∗2 − ∗3 )2
( ∗2 )2 = 225 a2
2 = 15 a;
( ∗3 )2 = 64 b;
3 = 8 b2;
1 = 2 ∗ 15 a ∗ 8 b2 = 240 a b2;
225 a2 − 240 a b2 + 64 b4 = ( 15 a − 8 b2 )2.

4) 0, 04 x2 + ∗1 + ∗2 = ( ∗3 + 0, 3 y3 )2
∗2 = ( 0, 3 y3 )2 = 0, 09 y6;
( ∗3 )2 = 0, 04 x2
3 = 0, 2 x;
1 = 2 ∗ 0, 2 x ∗ 0, 3 y3 = 0, 12 x y3;
0, 04 x2 + 0, 12 x y3 + 0, 09 y6 = ( 0, 2 x + 0, 3 y3 )2.

Задание №632

Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трехчлен:
1) − 8 x + 16 + x 2;
2) a8 + 4 a4 b3 + 4 b 6;
3) 2 x − 25 − 0, 04 x 2;
4) 25 m2 − 15 m n + 9 n 2;
5) 81 c2 − 54 b2 c + 9 b 2;
6) b10 − a2 b5 + 0, 25 a 4;
7) 1/16 x2 − x y + 4 y 2;
8) − 9/64 n6 − 3 m n5 − 16 m2 n 4.

Решение:

1) − 8 x + 16 + x2 = x2 − 8 x + 16 = ( x − 4 )2

2) a8 + 4 a4 b3 + 4 b6 = ( a4 + 2 b3 )2

3) 2 x − 25 − 0, 04 x2 = − ( 0, 04 x2 − 2 x + 25 ) = − ( 0, 2 x − 5 )2

4) 25 m2 − 15 m n + 9 n2 представить невозможно.

5) 81 c2 − 54 b2 c + 9 b2 представить невозможно.

6) b10 − a2 b5 + 0, 25 a4 = ( b5 − 0, 5 a2 )

7) 1/16 x2 − x y + 4 y2 = ( 1/4 x − 2 y )2

8) − 9/64 n6 − 3 m n5 − 16 m2 n4 = − ( 9/64 n6 + 3 m n5 + 16 m2 n4 ) = − ( 3/8 n3 + 4 m n2 )2

Задание №633

Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трехчлен:
1) − a4 − 0, 8 a6 − 0, 16 a 8;
2) 121 m2 − 44 m n + 16 n 2;
3) − a6 + 4 a3 b − 4 b 2;
4) 25/49 a8 − 10 a4 b6 + 49 b 12;
5) 80 x y + 16 x2 + 25 y 2;
6) b10 − 1/3 b5 c + 1/9 c 2.

Решение:

1) − a4 − 0, 8 a6 − 0, 16 a8 = − ( a4 + 0, 8 a6 + 0, 16 a8 ) = − ( a2 + 0, 4 a4 )2

2) 121 m2 − 44 m n + 16 n2 представить невозможно.

3) − a6 + 4 a3 b − 4 b2 = − ( a6 − 4 a3 b + 4 b2 ) = − ( a3 − 2 b )2

4) 25/49 a8 − 10 a4 b6 + 49 b12 = ( 5/7 a4 − 7 b6 )2

5) 80 x y + 16 x2 + 25 y2 представить невозможно.

6) b10 − 1/3 b5 c + 1/9 c2 = ( b5 − 1/3 c )2

Задание №634

Представьте в виде квадрата двучлена выражение:
1) ( 4 a + 3 b )2 − 8 b ( 4 a + b );
2) ( 10 x + 3 b )2 − ( 8 x + 4 y ) ( 8 x − 4 y ).

Решение:

1) ( 4 a + 3 b )2 − 8 b ( 4 a + b ) = 16 a2 + 24 a b + 9 b2 − 32 a b − 8 b2 = 16 a2 − 8 a b + b2 = ( 4 a − b )2

2) ( 10 x + 3 y )2 − ( 8 x + 4 y ) ( 8 x − 4 y ) = 100 x2 + 60 y x + 9 y2 − ( 64 x2 − 16 y2 ) = 100 x2 + 60 y x + 9 y2 − 64 x2 + 16 y2 = 36 x2 + 60 y x + 25 y2 = ( 6 x + 25 )2

Задание №635

Преобразуйте в квадрат двучлена выражение:
1) ( 3 m − 2 n )2 + 5 m ( 4 n − m );
2) ( 9 x + 2 y )2 − ( 8 x + 3 y ) ( 4 x − 4 y ).

Решение:

1) ( 3 m − 2 n )2 + 5 m ( 4 n − m ) = 9 m2 − 12 m n + 4 n2 + 20 m n − 5 m2 = 4 m2 + 8 m n + 4 n2 = ( 2 m + 2 n )2

2) ( 9 x + 2 y )2 − ( 8 x + 3 y ) ( 4 x − 4 y ) = 81 x2 + 36 x y + 4 y2 − ( 32 x2 + 12 x y − 32 x y − 12 y2 ) = 81 x2 + 36 x y + 4 y2 − 32 x2 − 12 x y + 32 x y + 12 y2 = 49 x2 + 56 x y + 16 y2 = ( 7 x + 4 y )2

Задание №636

Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел, найдите значение данного выражения:
1) 1, 02 2 − 1, 02 ∗ 1, 96 + 0, 98 2;
2) 24 2 + 96 ∗ 38 + 76 2.

Решение:

1) 1, 022 − 1, 02 ∗ 1, 96 + 0, 982 = 1, 022 − 1, 02 ∗ 2 ∗ 0, 98 + 0, 982 = ( 1, 02 − 0, 98 )2 = 0, 042 = 0, 0016

2) 242 + 96 ∗ 38 + 762 = 242 + 2 ∗ 24 ∗ 76 + 762 = ( 24 + 76 )2 = 1002 = 10000

Задание №637

Вычислите:
1) 203 2 − 406 ∗ 103 + 103 2;
2) 1, 58 2 + 1, 58 ∗ 2, 84 + 1, 42 2.

Решение:

1) 2032 − 406 ∗ 103 + 103 2 = 2032 − 2 ∗ 203 ∗ 103 + 1032 = ( 203 − 103 )2 = 1002 = 10000

2) 1, 58 2 + 1, 58 ∗ 2, 84 + 1, 422 = 1, 582 + 1, 58 ∗ 2 ∗ 1, 42 + 1, 422 = ( 1, 58 + 1, 42 )2 = 32 = 9

Задание №638

Какое число надо прибавить к многочлену 81a2b2 − 36ab + 9, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение:

$(\frac{36ab}{2\ast9ab})^2=2^2=4$, тогда:
4 − 9 = −5 − необходимо прибавить.
81 a2 b2 − 36 a b + 9 − 5 = 81 a2 b2 − 36 a b + 4 = ( 9 a b − 2 )2

Задание №639

Какое число надо прибавить к многочлену100 m4 + 120 m2 + 40, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Решение:

$(\frac{120m^2}{2\ast10m^2})^2=6^2=36$, тогда:
36 − 40 = −4 − необходимо прибавить.
100 m4 + 120 m2 + 40 − 4 = 100 m4 + 120 m2 + 36 = ( 10 m2 + 6 )2

Задание №640

Решить уравнение:
1) x2 − 16 x + 64 = 0;
2) 81 x2 + 126 x + 49 = 0.

Решение:

1) x2 − 16 x + 64 = 0
( x − 8 )2 = 0
x − 8 = 0
x = 8

2) 81 x2 + 126 x + 49 = 0
( 9 x + 7 )2 = 0
9x + 7 = 0
9x = −7
x = − 7/9