Задание №526
В одном мешке было 60 кг сахара, а в другом − 100 кг. Когда из второго мешка взяли в 4 раза больше сахара, чем из первого, то в первом осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?
Решение:
Пусть x кг сахара взяли из первого мешка, тогда (4x) кг сахара взяли из второго мешка;
(60 − x) кг сахара осталось в первом мешке;
(100 − 4x) кг сахара осталось во втором мешке; а в первом мешке осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором.
Составим уравнение:
60 − x = 2(100 − 4x)
60 − x = 200 − 8x
−x + 8x = 200 − 60
7x = 140
x = 20
Значит, 20 кг сахара взяли из первого мешка;
4x = 4 * 20 = 80 (кг) сахара взяли из второго мешка.
Ответ: 20 кг и 80 кг.
Задание №527
Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой − за 12 ч, а третий − за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе?
Решение:
Пусть весь урожай равен единице, тогда
1/10 часть урожая перевозит первый автомобиль за 1 ч;
1/12 часть урожая перевозит второй автомобиль за 1 ч;
1/15 часть урожая перевозит третий автомобиль за 1 ч;
$\frac1{10}+\frac1{12}+\frac1{15}=\frac{6+5+4}{60}=\frac{15}{60}=\frac14$ часть урожая перевозят совместно три автомобиля за 1 ч;
1 : 1/4 = 1 ∗ 4 = 4 (ч) потребуется трем автомобилям, чтобы перевезти весь урожай.
Ответ: за 4 часа.
Задание №528
(Старинная египетская задача.) У каждого из 7 человек есть по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зерен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам? Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых.
Решение:
7 ∗ 7 = 72 кошек всего;
72 ∗ 7 = 73 мышей всего съедают кошки;
73 ∗ 7 = 74 ячменных колосков за лето уничтожают мыши, тогда:
74 ∗ 7 = 75 = 16807 горстей ячменного зерна за лето уничтожают мыши;
16807 * 80 = 1344560 г ≈ 1,34 т зерна за лето уничтожают мыши.
Ответ: 1,34 т зерна.
Задание №529
Решите уравнение:
1) $\frac{4x-1}{12}-\frac{3x+1}8=x+1$;
2) $\frac{3x-2}9-\frac{2x+1}6=\frac{5-x}3$.
Решение:
1) $\frac{4x-1}{12}-\frac{3x+1}8=x+1$
$\frac{2(4x-1)-3(3x+1)}{24}=x+1$
2(4x − 1) − 3(3x + 1) = 24(x + 1)
8x − 2 − 9x − 3 = 24x + 24
8x − 9x − 24x = 24 + 3 + 2
−25x = 29
x = − 29/25
$x=-1\frac4{25}$
2) $\frac{3x-2}9-\frac{2x+1}6=\frac{5-x}3$
$\frac{3x-2}9-\frac{2x+1}6-\frac{5-x}3=0$
$\frac{2(3x-2)-3(2x+1)-6(5-x)}{18}=0$
2(3x − 2) − 3(2x + 1) − 6(5 − x) = 0
6x − 4 − 6x − 3 − 30 + 6x = 0
6x − 6x + 6x = 4 + 3 + 30
6x = 37
$x=\frac{37}6$
$x=6\frac16$
Задание №530
Представьте данное выражение в виде квадрата одночлена:
1) x 6;
2) y 4;
3) 4 x 2;
4) 1/9 x 4;
5) a8 b 10;
6) 0, 36 x2 y 12;
7) 1, 21 m10 n 20;
8) 1 9/16 a 14 b 16.
Решение:
1) x6 = ( x3 )2
2) y4 = ( y2 )2
3) 4 x2 = ( 2 x )2
4) 1/9 x4 = ( 1/3 x2 )2
5) a8 b10 = ( a4 b5 )2
6) 0, 36 x2 y 12 = ( 0, 6 x y6 )2
7) 1, 21 m10 n 20 = ( 1, 1 m5 n10 )2
8) $1\frac9{16}a^{14}b^{16}=\frac{25}{16}a^{14}b^{16}=(\frac54a^7b^8)^2=(1\frac14a^7b^8)^2$
Задание №531
Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов выражение:
1) a2 − 16 b2;
2) 25 c2 + 9 b2;
3) 100 b4 − 25 c6;
4) − 64 + a10;
5) − a12 − 49 c8;
6) − 0, 01 a4 + 0, 04 b4?
В случае утвердительного ответа запишите эту разность квадратов.
Решение:
1) a2 − 16 b2 = ( a − 4 b ) ( a + 4 b )
2) 25 c2 + 9 b2 − представить нельзя
3) 100 b4 − 25 c6 = ( 10 b2 − 5 c3 ) ( 10 b2 + 5 c3 )
4) − 64 + a10 = a10 − 64 = ( a5 − 8 ) ( a5 + 8 )
5) − a12 − 49 c8 − представить нельзя
6) − 0, 01 a4 + 0, 04 b4 = 0, 04 b4 − 0, 01 a4 = ( 0, 2 b2 − 0, 1 a2 ) ( 0, 2 b2 + 0, 1 a2 )
Задание №532
Для перевозки груза выделили 4−, 7− и 8−тонные грузовики. Каждый автомобиль должен сделать только одну ходку. Сколько требуется грузовиков каждого вида для перевозки 44 т груза?
Решение:
Если бы все грузовики были четырехтонными, то достаточно было бы их взять 11, а семи и восьмитонных - 0.
Если заменить 10 четырехтонных на 5 восьмитонных, то останется довезти 4 тонны, с этим справится 1 четырехтонный грузовик. И так далее 4 восьми- и 3 четырехтоных, 3 восьми- и 5 четырехтонных и т.д
Но авторы задачи, возможно, имели в виду, что нужно задействовать грузовики каждого тоннажа. Тогда решение такое:
Обозначим количества четырёхтонных, семитонных и восьмитонных грузовиков соответственно a, b, c.
Получаем 4a + 7b + 8c = 44.
Отсюда 7b = 4(11 − a − 2c).
Из этого уравнения следует, что b – натуральное число, кратное 4. Это может быть 4 или 8 (при 12 будет уже больше чем 44 кг).
44 - 7 - 8 = 29, значит 8 тоже не подходит, если нужно использовать все машины.
Таким образом, b = 4.
Подставляя найденное значение b в исходное уравнение, получим
4a + 28 + 8c = 44.
4(a + 7 + 2c) = 44
a + 7 + 2c = 11
a + 2c = 4.
Теперь ясно, что a – чётное число, меньшее 4, а это может быть только 2.
Тогда a = 2, c = 1.
Ответ: 2 четырёхтонных грузовика, 4 семитонных, 1 восьмитонный.
