Задание №476
Разложите на множители многочлен:
1) ma + mb + 4a + 4b;
2) 3x + cy + cx + 3y;
3) 5a − 5b + ap − bp;
4) 7m + mn + 7 + n;
5) a − 1 + ab − b;
6) xy + 8y − 2x − 16;
7) ab + ac − b − c;
8) 3p − 3k − 4ap + 4ak.
Решение:
1) ma + mb + 4a + 4b = m(a + b) + 4(a + b) = (a + b)(m + 4)
2) 3x + cy + cx + 3y = (3x + 3y) + (cy + cx) = 3(x + y) + c(x + y) = (3 + c)(x + y)
3) 5a − 5b + ap − bp = 5(a − b) + p(a − b) = (a − b)(5 + p)
4) 7m + mn + 7 + n = (7m + 7) + (mn + n) = 7(m + 1) + n(m + 1) = (m + 1)(7 + n)
5) a − 1 + ab − b = (a + ab) + (−b − 1) = a(1 + b) − (b + 1) = (b + 1)(a − 1)
6) xy + 8y − 2x − 16 = y(x + 8) − 2(x + 8) = (x + 8)(y − 2)
7) ab + ac − b − c = a(b + c) − (b + c) = (b + c)(a − 1)
8) 3p − 3k − 4ap + 4ak = 3(p − k) − 4a(p − k) = (p − k)(3 − 4a)
Задание №477
Представьте в виде произведения многочленов выражение:
1) ay − 3y − 4a + 12;
2) 9a + 9 − na − n;
3) 6x + ay + 6y + ax;
4) 8x − 8y + xz − yz;
5) mn + m − n − 1;
6) ab − ac − 2b + 2c.
Решение:
1) ay − 3y − 4a + 12 = (ay − 3y) − (4a − 12) = y(a − 3) − 4(a − 3) = (a − 3)(y − 4)
2) 9a + 9 − na − n = (9a + 9) − (na + n) = 9(a + 1) − n(a + 1) = (9 − n)(a + 1)
3) 6x + ay + 6y + ax = (6x + 6y) + (ax + ay) = 6(x + y) + a(x + y) = (6 + a)(x + y)
4) 8x − 8y + xz − yz = (8x − 8y) + (xz − yz) = 8(x − y) + x(x − y) = (x − y)(8 + x)
5) mn + m − n − 1 = (mn + m) − (n + 1) = m(n + 1) − (n + 1) = (n + 1)(m − 1)
6) ab − ac − 2b + 2c = (ab − ac) − (2b − 2c) = a(b − c) − 2(b − c) = (b − c)(a − 2)
Задание №478
Разложите на множители многочлен:
1) a3 + a2 + a + 1;
2) x5 − 3 x3 + 4 x2 − 12;
3) c6 − 10 c4 − 5 c2 + 50;
4) y3 − 18 + 6 y2 − 3 y;
5) a2 − a b + a c − b c;
6) 20 a3 b c − 28 a c2 + 15 a2 b2 − 21 b c;
7) x2 y2 + x y + a x y + a;
8) 24 x6 − 44 x4 y − 18 x2 y3 + 33 y 4.
Решение:
1) a3 + a2 + a + 1 = ( a3 + a2 ) + ( a + 1 ) = a2 ( a + 1 ) + ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( a2 + 1 )
2) x5 − 3 x3 + 4 x2 − 12 = ( x5 − 3 x3 ) + ( 4 x2 − 12 ) = x3 ( x2 − 3 ) + 4 ( x2 − 3 ) = ( x2 − 3 ) ( x3 + 4 )
3) c6 − 10 c4 − 5 c2 + 50 = ( c6 − 10 c4 ) − ( 5 c2 − 50 ) = c4 ( c2 − 10 ) − 5 ( c2 − 10 ) = ( c2 − 10 ) ( c4 − 5 )
4) y3 − 18 + 6 y2 − 3 y = ( y3 + 6 y2 ) − ( 18 + 3 y ) = y2 ( y + 6 ) − 3 ( y + 6 ) = ( y + 6 ) ( y2 − 3 )
5) a2 − a b + a c − b c = ( a2 − a b ) + ( a c − b c ) = a ( a − b ) + c ( a − b ) = ( a − b ) ( a + c )
6) 20 a3 b c − 28 a c2 + 15 a2 b2 − 21 b c = ( 20 a3 b c + 15 a2 b2 ) − ( 28 a c2 + 21 b c ) = 5 a2 b ( 4 a c + 3 b ) − 7 c ( 4 a c + 3 b ) = ( 5 a2 b − 7 c ) ( 4 a c + 3 b )
7) x2 y2 + x y + a x y + a = ( x2 y2 + x y ) + ( a x y + a ) = x y ( x y + 1 ) + a ( x y + 1 ) = ( x y + 1 ) ( x y + a )
8) 24 x6 − 44 x4 y − 18 x2 y3 + 33 y4 = ( 24 x6 − 18 x2 y3 ) − ( 44 x4 y − 33 y4 ) = 6 x2 ( 4 x4 − 3 y3 ) − 11 y ( 4 x4 − 3 y3 ) = ( 4 x4 − 3 y3 ) ( 6 x2 − 11 y )
Задание №479
Разложите на множители многочлен:
1) 8 с3 − 2 c2 + 4 c − 1;
2) x2 y + x + x y2 + y;
3) 9 a2 b − 3 a2 + 3 b2 − b;
4) 8 a2 − 2 a b − 4 a c + b c;
5) 2 b3 − 7 b2 c − 4 b + 14 c;
6) 6 x5 + 4 x2 y2 − 9 x3 y − 6 y 3.
Решение:
1) 8 c3 − 2 c2 + 4 c − 1 = ( 8 c3 − 2 c2 ) + ( 4 c − 1 ) = 2 c2 ( 4 c − 1 ) + ( 4 c − 1 ) = ( 4 c − 1 ) ( 2 c2 + 1 )
2) x2 y + x + x y2 + y = ( x2 y + x ) + ( x y2 + y ) = x ( x y + 1 ) + y ( x y + 1 ) = ( x y + 1 ) ( x + y )
3) 9 a2 b − 3 a2 + 3 b2 − b = ( 9 a2 b − 3 a2 ) + ( 3 b2 − b ) = 3 a2 ( 3 b − 1 ) + b ( 3 b − 1 ) = ( 3 b − 1 ) ( 3 a2 + b )
4) 8 a2 − 2 a b − 4 a c + b c = ( 8 a2 − 2 a b ) − ( 4 a c − b c ) = 2 a ( 4 a − b ) − c ( 4 a − b ) = ( 4 a − b ) ( 2 a − c )
5) 2 b3 − 7 b2 c − 4 b + 14 c = ( 2 b3 − 7 b2 c ) − ( 4 b − 14 c ) = b2 ( 2 b − 7 c ) − 2 ( 2 b − 7 c ) = ( 2 b − 7 c ) ( b2 − 2 )
6) 6 x5 + 4 x2 y2 − 9 x3 y − 6 y3 = ( 6 x5 + 4 x2 y2 ) − ( 9 x3 y + 6 y3 ) = 2 x2 ( 3 x3 + 2 y2 ) − 3 y ( 3 x3 + 2 y2 ) = ( 3 x3 + 2 y2 ) ( 2 x2 − 3 y )
Задание №480
Найдите значение выражения, разложив его предварительно на множители:
1) 2 a3 − 3 a2 − 2 a b + 3 b, если a = 0,5, b = 2,25;
2) x y + y2 − 12 x − 12 y, если x = 10,8, y = −8,8;
3) 27 x3 − 36 x2 + 6 x − 8, если x = − 1 1/3.
Решение:
1) 2 a3 − 3 a2 − 2 a b + 3 b = a2 ( 2 a − 3 ) − b ( 2 a − 3 ) = ( 2 a − 3 ) ( a2 − b ) = ( 2 ∗ 0, 5 − 3 ) ( 0, 5 2 − 2, 25 ) = ( 1 − 3 ) ( 0, 25 − 2, 25 ) = − 2 ∗ ( − 2 ) = 4
2) x y + y2 − 12 x − 12 y = ( x y + y2 ) − ( 12 x + 12 y ) = y ( x + y ) − 12 ( x + y ) = ( x + y ) ( y − 12 ) = ( 10, 8 − 8, 8 ) ( − 8, 8 − 12 ) = 2 ∗ ( − 20, 8 ) = − 41, 6
3) 27 x3 − 36 x2 + 6 x − 8 = ( 27 x3 − 36 x2 ) + ( 6 x − 8 ) = 9 x2 ( 3 x − 4 ) + 2 ( 3 x − 4 ) = ( 3 x − 4 ) ( 9 x2 + 2 ) = ( 3 ∗ ( − 4/3 ) − 4 ) ( 9 ∗ ( − 4/3 )2 + 2 ) = ( − 4 − 4 ) ( 9 ∗ 16/9 + 2 ) = − 8 ∗ ( 16 + 2 ) = − 8 ∗ 18 = − 144