Задание №365

Докажите, что если:
1) a + b + c = 0, то a(bc − 1) + b(ac − 1) + c(ab − 1) = 3abc;
2) a 2 + b2 = c 2, то с(ab − c) − b(ac − b) − a(bc − a) + abc = 0.

Решение:

1) a(bc − 1) + b(ac − 1) + c(ab − 1) = 3abc
abc − a + abc − b + abc − c = 3abc
(abc + abc + abc) − (a + b + c) = 3abc
3abc − 0 = 3abc
3abc = 3abc

2) a b c − c2 − a b c + b2 − a b c + a2 + a b c = 0
( a b c − a b c − a b c + a b c ) − c2 + ( b2 + a2 ) = 0
0 − c2 + c2 = 0
0 = 0

Задание №366

Докажите, что значение выражения

x ( 12 x + 11 ) − x2 ( x2 + 8 ) − x ( 11 + 4 x − x3 ) не зависит от значения переменной.

Решение:

x ( 12 x + 11 ) − x2 ( x2 + 8 ) − x ( 11 + 4 x − x3 ) = 12 x2 + 11 x − x4 − 8 x2 − 11 x − 4 x2 + x4 = ( 12 x2 − 8 x2 − 4 x2 ) + ( 11 x − 11 x ) + ( − x4 + x4 ) = 0 + 0 + 0 = 0, следовательно при любом значении x данное выражение будет равно 0.

Задание №367

Докажите, что значение выражения

6 x ( x − 3 ) − 9 ( 2/3 x2 − 2 x + 7 ) не зависит от переменной.

Решение:

6 x ( x − 3 ) − 9 ( 2/3 x2 − 2 x + 7 ) = 6 x2 − 18 x − 6 x2 + 18 x − 63 = ( 6 x2 − 6 x2 ) + ( 18 x − 18 x ) − 63 = 0 + 0 − 63 = − 63, следовательно при любом значении x данное выражение будет равно −63.

Задание №368

Докажите, что при любых значениях x значение выражения 4(x2 − 2x + 4) − 0,5x(6x − 16) являются положительным числом.

Решение:

4 ( x2 − 2 x + 4 ) − 0, 5 x ( 6 x − 16 ) = 4 x2 − 8 x + 16 − 3 x2 + 8 x = ( 4 x2 − 3 x2 ) + ( 8 x − 8 x ) + 16 = x2 + 16, так квадрат числа всегда число положительное, то значение данного выражения всегда будет положительным числом.

Задание №369

Докажите, что выражение

3 x2 ( 3 − 4 x ) − 6 x ( 1, 5 x − 2 x2 + x3 ) принимает неположительные значения при всех значениях x.

Решение:

3 x2 ( 3 − 4 x ) − 6 x ( 1, 5 x − 2 x2 + x3 ) = 9 x2 − 12 x3 − 9 x2 + 12 x3 − 6 x4 = ( 9 x2 − 9 x2 ) + ( 12 x3 − 12 x3 ) − 6 x4 = 0 + 0 − 6 x3 = − 6 x4 = ( − 1 ) ∗ 6 x4, следовательно данное выражение принимает неположительные значения при всех значениях x

Задание №370

Докажите, что выражение

7 a4 ( a + 3 ) − a3 ( 21 a + 7 a2 − 3 a3 ) принимает неотрицательные значения при всех значениях a.

Решение:

7 a4 ( a + 3 ) − a3 ( 21 a + 7 a2 − 3 a3 ) = 7 a5 + 21 a4 − 21 a4 − 7 a5 + 3 a6 = ( 7 a5 − 7 a5 ) + ( 21 a4 − 21 a4 ) + 3 a6 = 0 + 0 + 3 a6 = 3 a6, так степень с четным показателем всегда число положительное, то значение данного выражения принимает неотрицательные значения при всех значениях a.

Задание №371

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) ∗ ⋅ ( a − b + c ) = − a b c + b2 с − b c2;
2) ∗ ⋅ ( a b − b2 ) = a3 b − a2 b2;
3) − 3 a2 ( ∗ − ∗ ) = 6 a3 + 15 a4.

Решение:

1) ∗ ⋅ ( a − b + c ) = − a b c + b2 с − b c2
∗ ⋅ ( a − b + c ) = − b c ( a − b + c )
$\ast=-\frac{bc(a-b+c)}{(a-b+c)}$
* = −bc

2) ∗ ⋅ ( a b − b2 ) = a3 b − a2 b2
∗ ⋅ ( a b − b2 ) = a2 ( a b − b2 )
$\ast=-\frac{a^2(ab-b^2)}{ab-b^2}$
∗ = a2

3) − 3 a2 ( ∗ − ∗ ) = 6 a3 + 15 a 4
− 3 a2 ( ∗ − ∗ ) = 3 a2 ( 2 a + 5 a2 )
$(\ast-\ast)=-\frac{3a^2(2a+5a^2)}{3a^2}$
( ∗ − ∗ ) = − ( 2 a + 5 a2 )
( ∗ − ∗ ) = ( 5 a2 − 2 a )

Задание №372

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) ( x − y ) ⋅ ∗ = x2 y2 − x3 y;
2) ( − 9 x2 + ∗ ) ⋅ y = ∗ + y 4;
3) ( 1, 4 x − ∗ ) ⋅ 3 x = ∗ − 0, 6 x3;
4) ∗ ( ∗ − x2 y5 + 5 y6 ) = 8 x3 y3 + 5 x3 y8 − ∗.

Решение:

1) ( x − y ) ⋅ ∗ = x2 y2 − x3 y
( x − y ) ⋅ ∗ = − x2 y ( x − y )
$\ast=-\frac{x^2y(x-y)}{x-y}$
∗ = − x2 y

2) ( − 9 x2 + ∗1 ) ⋅ y = ∗2 + y4
( − 9 x2 + ∗1 ) = (∗2 + y4 ) : y
( − 9 x2 + ∗1 ) = (− 9 x2 y + y4 ) : y
2 = − 9 x2 ∗ y
2 = − 9 x2 y;
( − 9 x2 + ∗1 ) ⋅ y = − 9 x2 y + y4
( − 9 x2 + ∗1 ) = (− 9 x2 y + y4 ) : y
− 9 x2 + ∗ 1 = − 9 x2 + y3
1 = − 9 x2 + y3 + 9 x2
1 = y3

3) ( 1, 4 x − ∗1 ) ⋅ 3 x = ∗2 − 0, 6 x3
( 1, 4 x − ∗1 ) = (∗2 − 0, 6 x3 ) : 3 x
2 = 1, 4 x ∗ 3 x
2 = 4, 2 x2;
( 1, 4 x − ∗1 ) ⋅ 3 x = 4, 2 x2 − 0, 6 x3
( 1, 4 x − ∗1 ) = (4, 2 x2 − 0, 6 x3 ) : 3 x
1, 4 x − ∗1 = 1, 4 x − 0, 2 x2
− ∗1 = 1, 4 x − 0, 2 x2 − 1, 4 x
− ∗1 = − 0, 2 x2
1 = 0, 2 x2

4) ∗1 ( ∗2 − x2 y5 + 5 y6 ) = 8 x3 y3 + 5 x3 y8 − ∗3
1 = − 5 x y 3,     ∗2 = − 1, 6 x 2,      ∗3 = 25 x y 3:
− 5 x y3 ( − 1, 6 x2 − x2 y5 + 5 y6 ) = 8 x3 y3 + 5 x3 y8 − 25 x y9
8 x3 y3 + 5 x3 y8 − 25 x y9 = 8 x3 y3 + 5 x3 y8 − 25 x y9

Задание №373

Упростите выражение:
1) 15 a ∗ (a + 4) / 3 + 12 a2 ∗ (5 − 2 a) / 6;
2) 24 c3 ∗ (c2 + 2 c − 3) / 8 − 18 c2 ∗ (c3 − c2 + 2) / 9;
3) 34 x ∗ (x − y) / 17 − 45 y ∗ (x − 2 y) / 15 − y ( 6 y − 5 x ).

Решение:

1) $15a\ast\frac{a+4}3+12a^2\ast\frac{5-2a}6=5a(a+4)+2a^2(5-2a)=5a^2+20a+10a^2-4a^3=-4a^3+15a^2+20a$

2) $24c^3\ast\frac{c^2+2c-3}8-18c^2\ast\frac{c^3-c^2+2}9=3c^3(c^2+2c-3)-2c^2(c^3-c^2+2)=3c^5+6c^4-9c^3-2c^5+2c^4-4c^2=(3c^5-2c^5)+(6c^4+2c^4)-9c^3-36c^2=c^5+8c^4-9c^3-4c^2$

3) $34x\ast\frac{x-y}{17}-45y\ast\frac{x-2y}{15}-y(6y-5x)=2x(x-y)-3y(x-2y)-y(6y-5x)=2x^2-2xy-3xy+6y^2-6y^2+5xy=2x^2+(-2xy-3xy+5xy)+(6y^2-6y^2)=2x^2+0+0=2x^2$

Задание №374

Упростите выражение:
1) 6 b2 ∗ (5 b2 − 4) / 3 + 20 b ∗ (3 b − 2 b3 ) / 4;
2) 14 m ∗ (m + n) / 7 − (m − n) / 8 ∗ 16 n − 2 ( m2 + n2 ).

Решение:

1) $6b^2\ast\frac{5b^2-4}3+20b\ast\frac{3b-2b^3}4=2b^2(5b^2-4)+5b(3b-2b^3)=10b^4-8b^2+15b^2-10b^4=(10b^4-10b^4)+(15b^2-8b^2)=0+7b^2=7b^2$

2) $14m\ast\frac{m+n}7-\frac{m-n}8\ast16n-2(m^2+n^2)=2m(m+n)-2n(m-n)-2m^2-2n^2=2m^2+2mn-2mn+2n^2-2m^2-2n^2=(2m^2-2m^2)+(2mn-2mn)+(2n^2-2n^2)=0+0+0=0$

Задание №375

Решите уравнение:
1) (x − 7) / 4 − x/6 = 2;
2) (x + 6) / 2 − (x − 7) / 7 = 4;
3) (2 x + 3) / 6 + (1 − 4 x) / 8 = 1/3;
4) 3 x − (2 x + 3) / 2 = (x + 6) / 3;
5) (6 x − 7) / 5 − (3 x + 1) / 6 = (11 − x) / 15;
6) (5 x − 3) / 9 − (4 x + 3) / 6 = x − 1;
7) (8 x − 5) / 3 − (4 x + 3) / 4 + (2 − 9 x) / 2 = − 3;
8) (8 x2 − 3 x) / 16 − (6 x2 + 1) / 12 = − 1.

Решение:

1) $\frac{x-7}4-\frac x6=2$
$\frac{3(x-7)-2x}{12}=2$
3(x − 7) − 2x = 2 * 12
3x − 21 − 2x = 24
3x − 2x = 24 + 21
x = 45

2) $\frac{x+6}2-\frac{x-7}7=4$
$\frac{7(x+6)-2(x-7)}{14}=4$
7(x + 6) − 2(x − 7) = 4 * 14
7x + 42 − 2x + 14 = 56
7x − 2x = 56 − 42 − 14
5x = 0
x = 0

3) $\frac{2x+3}6+\frac{1-4x}8=\frac13$
$\frac{4(2x+3)+3(1-4x)}{24}=\frac13$
4 ( 2 x + 3 ) + 3 ( 1 − 4 x ) = 1 3 ∗ 24
8x + 12 + 3 − 12x = 8
8x − 12x = 8 − 12 − 3
−4x = −7
x = 7/4
$x=1\frac34$
x = 1,25

4) $3x-\frac{2x+3}2=\frac{x+6}3$
$3x-\frac{2x+3}2-\frac{x+6}3=0$
$\frac{6\ast3x-3(2x+3)-2(x+6)}6=0$
6 * 3x − 3(2x + 3) − 2(x + 6) = 0
18x − 6x − 9 − 2x − 12 = 0
18x − 6x − 2x = 9 + 12
10x = 21
x = 21 : 10
x = 2,1

5) $\frac{6x-7}5-\frac{3x+1}6=\frac{11-x}{15}$
$\frac{6x-7}5-\frac{3x+1}6-\frac{11-x}{15}=0$
$\frac{6(6x-7)-5(3x+1)-2(11-x)}{30}=0$
6(6x − 7) − 5(3x + 1) − 2(11 − x) = 0
36x − 42 − 15x − 5 − 22 + 2x = 0
36x − 15x + 2x = 42 + 5 + 22
23x = 69
x = 69 : 23
x = 3

6) $\frac{5x-3}9-\frac{4x+3}6=x-1$
$\frac{5x-3}9-\frac{4x+3}6-x=-1$
$\frac{2(5x-3)-3(4x+3)-18x}{18}=-1$
2(5x − 3) − 3(4x + 3) − 18 = −1 * 18
2(5x − 3) − 3(4x + 3) − 18 = −18
10x − 6 − 12x − 9 − 18x = −18
10x − 12x − 18x = 6 + 9 − 18
−20x = −3
x = 3/20

7) $\frac{8x-5}3-\frac{4x+3}4+\frac{2-9x}2=-3$
$\frac{4(8x-5)-3(4x+3)+6(2-9x)}{12}=-3$
4(8x − 5) − 3(4x + 3) + 6(2 − 9x) = −3 * 12
32x − 20 − 12x − 9 + 12 − 54x = −36
32x − 12x − 54x = −36 + 20 + 9 − 12
−34x = −19
x = 19/34

8) $\frac{8x^2-3x}{16}-\frac{6x^2+1}{12}=-1$
$\frac{3(8x^2-3x)-4(6x^2+1)}{48}=-1$
3 ( 8 x2 − 3 x ) − 4 ( 6 x2 + 1 ) = − 1 ∗ 48
24 x2 − 9 x − 24 x2 − 4 = − 48
−9x = −48 + 4
−9x = −44
x = 44/9
$x=4\frac89$