Задание № 325
Представьте в виде многочлена число, состоящее из:
1) 4 сотен, x десятков и y единиц;
2) a тысяч, b сотен, 5 десятков и c единиц.
Решение:
1) 4 * 100 + x * 10 + y * 1 = 400 + 10x + y
2) a * 1000 + b * 100 + 5 * 10 + c * 1 = 1000a + 100b + 50 + c
Задание № 326
Представьте в виде многочлена выражение:
____
1) c b a ; ___
2) a b c − a b;
3) a 0 c + a c .
Решение:
____
1) c b a = 100 c + 10 b + a
____ ___
2) a b c − a b = ( 100 a + 10 b + c ) − ( 10 a + b ) = 100 a + 10 b + c − 10 a − b = ( 100 a − 10 a ) + ( 10 b − b ) + c = 90 a + 9 b + c
____ ___
3) a 0 c + a c = ( 100 a + 0 + c ) + ( 10 a + c ) = ( 100 a + 10 a ) + ( c + c ) = 110 a + 2 c
Задание № 327
Представьте в виде многочлена выражение:
1) c a b + c a ;
2) a b c + b c a ;
3) a b 9 + 7 a .
Решение:
____ ___
1) c a b + c a = ( 100 c + 10 a + b ) + ( 10 c + a ) = ( 100 c + 10 c ) + ( 10 a + a ) + b = 110 c + 11 a + b
____ ____
2) a b c + b c a = ( 100 a + 10 b + c ) + ( 100 b + 10 c + a ) = ( 100 a + a ) + ( 10 b + 100 b ) + ( c + 10 c ) = 101 a + 110 b + 11 c
____ ___
3) a b 9 + 7 a = ( 100 a + 10 b + 9 ) + ( 7 ∗ 10 + a ) = ( 100 a + a ) + 10 b + ( 9 + 70 ) = 101 a + 10 b + 79
Задание № 328
Докажите, что значение выражения (9 − 18n) − (6n − 7) кратно 8 при любом натуральном значении n.
Решение:
(9 − 18n) − (6n − 7) = 9 − 18n − 6n + 7 = (−18n − 6n) + (9 + 7) = −24n + 16 = 8(2 − 3n), так как выражение (2 − 3n) умножается на 8, очевидно, что значение выражения (9 − 18n) − (6n − 7) кратно 8 при любом натуральном значении n.
Задание № 329
Докажите, что значение выражения (6m + 8) − (3m − 4) кратно 3 при любом натуральном значении m.
Решение:
(6m + 8) − (3m − 4) = 6m + 8 − 3m + 4 = 3m + 12 = 3(m + 4), так как выражение (m + 4) умножается на 3, очевидно, что значение выражения (6m + 8) − (3m − 4) кратно 3 при любом натуральном значении m.
Задание № 330
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (5n + 9) − (5 − 2n) при делении на 7 дает остаток, равный 4.
Решение:
(5n + 9) − (5 − 2n) = 5n + 9 − 5 + 2n = (5n + 2n) + (9 − 5) = 7n + 4, так как переменная n умножается на 7, очевидно что 7n будет делится нацело на 7. Следовательно 7n + 4 при делении на 7 дает остаток, равный 4.
Задание № 331
Чему равен остаток при делении на 9 значения выражения (16n + 8) − (7n + 3), где n − произвольное натуральное число?
Решение:
(16n + 8) − (7n + 3) = 16n + 8 − 7n − 3 = (16n − 7n) + (8 − 3) = 9n + 5, так как переменная n умножается на 9, очевидно что 9n будет делится нацело на 9. Следовательно (9n + 5) при делении на 9 дает остаток, равный 5.
Задание № 332
Представьте многочлен
3 a 2 b + 8 a 3 − 6 a + 12 b − 9 в виде суммы двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной b.
Решение:
3 a2 b + 8 a3 − 6 a + 12 b − 9 = ( 8 a3 − 6 a − 9 ) + ( 3 a2 b + 12 b )
Задание № 333
Представьте многочлен
4 m n 2 + 11 m 4 − 7 m 5 + 14 m n − 9 n + 3 в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами.
Решение:
4 mn2 + 11 m4 − 7 m5 + 14 mn − 9 n + 3 = ( 4 mn2 + 11 m4 + 14 mn + 3 ) − ( 7 m5 − 9 n )
Задание № 334
Представьте многочлен
6 x 2 − 3 x y + 5 x − 8 y + 2 в виде разности двух многочленов так, чтобы один из них не содержал переменной y.
Решение:
6 x2 − 3 xy + 5 x − 8 y + 2 = ( 6 x2 + 5 x + 2 ) − ( − 3 xy − 8 y )
Задание № 335
Докажите, что значение разности двучленов 13m + 20n и 7m + 2n, где m и n − произвольные натуральные числа, делится нацело на 6.
Решение:
(13m + 20n) − (7m + 2n) = 13m + 20n − 7m − 2n = (13m − 7m) + (20n − 2n) = 6m + 18n = 6(m + 3n), так как выражение (m + 3n) умножается на 6, очевидно, что значение выражения (13m + 20n) − (7m + 2n) делится нацело на 6 при любых значениях m и n.
Задание № 336
Докажите, что значение суммы двучленов 16a − 6b и 27b − 2a, где a и b − произвольные натуральные числа, делится нацело на 7.
Решение:
(16a − 6b) + (27b − 2a) = 16a − 6b + 27b − 2a = (16a − 2a) + (27b − 6b) = 14a + 21b = 7(2a + 3b), так как выражение 2a + 3b умножается на 7, очевидно, что значение выражения (16a − 6b) + (27b − 2a) делится нацело на 7 при любых значениях a и b.
Задание № 337
Представьте многочлен
x 2 − 6 x + 14 в виде разности:
1) двух членов;
2) трехчленов и двучлена.
Решение:
1) x2 − 6 x + 14 = ( x2 − 3 x ) − ( 3 x − 14 )
2) x2 − 6 x + 14 = ( x2 − 3 x + 3 ) − ( 3 x − 11 )
Задание № 338
Представьте многочлен
3 x 2 + 10 x − 5 в виде разности двучлена и трехчлена:
Решение:
3 x2 + 10 x − 5 = ( 3 x2 − 2 x ) − ( 5 x2 − 12 x + 5 )
Задание № 339
Докажите, что выражение
( 2 x 4 + 4 x − 1 ) − ( x 2 + 8 + 9 x ) + ( 5 x + x 2 − 3 x 4 ) принимает отрицательное значение при любом значении x. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x?
Решение:
$(2x^4+4x-1)-(x^2+8+9x)+(5x+x^2-3x^4)=2x^4+4x-1-x^2-8-9x+5x+x^2-3x^4=(2x^4-3x^4)+(-x^2+x^2)+(4x-9x+5x)+(-1-8)=-x^4+0+0-9=-x^4-9=-(x^4+9)$
Значит, выражение принимает отрицательное значение при любом значении x.
Наибольшее значение − ( x 4 + 9 ) = − 9, при x = 0.
Задание № 340
Докажите, что выражение
( 7 y 2 − 9 y + 8 ) − ( 3 y 2 − 6 y + 4 ) + 3 y принимает положительное значение при любом значении y. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении y?
Решение:
$(7y^2-9y+8)-(3y^2-6y+4)+3y=7y^2-9y+8-3y^2+6y-4+3y=(7y^2-3y^2)+(-9y+6y+3y)+(8-4)=4y^2+0+4=4(y^2+1)$
Значит, выражение принимает положительное значение при любом значении y.
Наименьшее значение 4 ( y 2 + 1 ) = 4, при y = 0.
