Задание № 287
Некоторое число сначала уменьшили на 10 %, а потом результат увеличили на 20 %. После этого получили число, которое на 48 больше данного. Найдите данное число.
Решение:
Пусть х - некоторое число x.
10% = 0,1
20% = 0,2
Тогда x − x * 0,1 = x * (1 − 0,1) = 0,9x - число после уменьшения;
0,9x + 0,9x * 0,2 = 0,9x * (1 + 0,2) = 0,9x * 1,2 = 1,08x - число после увеличения;
а полученное число на 48 больше данного.
Составим уравнение:
1,08x − x = 48
0,08x = 48
x = 48 : 0,08
x = 600
Значит, 600 − некоторое число число.
Ответ: 600.
Задание № 288
(Задача из русского фольклора.) Летела стая гусей, а навстречу ей летит один гусь и говорит: "Здравствуйте, сто гусей, − отвечает ему вожак стаи, − если бы нас было столько, сколько сейчас, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, тогда нас было бы сто гусей". Сколько было в стае гусей?
Решение:
Пусть было x гусей, тогда (1/2 x) - полстолько гусей; (1/4 x) - четверть столько гусей.
Составим уравнение:
$x+x+\frac12x+\frac14x+1=100$
$2x+\frac24x+\frac14x=100-1$
$2\frac34x=99$
$x=99:\frac{11}4$
x = 9 * 4
x = 36
Значит, 36 гусей было в стае.
Ответ: 36 гусей.
Задание № 289
Замените звездочки такими цифрами, чтобы:
1) число 5 делилось нацело на 3 и на 10;
2) число 132 делилось нацело на 9 и на 5;
3) число 58* делилось нацело на 2 и на 3.
Найдите все возможные решения.
Решение:
1) Число нацело делится на 10, когда число оканчивается на 0, тогда число может иметь вид:
*50.
Число делится на 3, когда сумма цифр данного числа делится на 3, тогда условию задачи удовлетворяют следующие числа: 150; 450; 750.
2) Число нацело делится на 5, когда число оканчивается на 0 или на 5, тогда число может иметь вид:
1320 или 1325.
Число делится на 9, когда сумма цифр данного числа делится на 9, тогда условию задачи удовлетворяют следующие числа: 13320; 13725.
3) Число нацело делится на 2, когда число оканчивается на четную цифру, тогда число может иметь вид:
580; 582; 584; 586; 588, но число одновременно с этим делится на 3, когда сумма цифр данного числа делится на 3, тогда условию задачи удовлетворяют следующее число: 582.
Задание № 290
Упростите выражение:
1) 6x − 12x + 15x − 9x;
2) 7a − 9b − 12a + 14b;
3) −0,8k + 0,9 − 1,7k + 0,5k + 1,4;
4) − 1/6 a + 1/2 b + 1/9 a − 3/4 b.
Решение:
1) 6x − 12x + 15x − 9x = (6 − 12 + 15 − 9)x = 0x = 0
2) 7a − 9b − 12a + 14b = (7 − 12)a + (−9 + 14)b = −5a + 5b = −5(a − b)
3) −0,8k + 0,9 − 1,7k + 0,5k + 1,4 = (−0,8 − 1,7 + 0,5)k + (0,9 + 1,4) = −2k + 2,3
4) $-\frac16a+\frac12b+\frac19a-\frac34b=(-\frac16+\frac19)a+(\frac12-\frac34)b=(-\frac3{18}+\frac2{18})a+(\frac24-\frac34)b=-\frac1{18}a+(-\frac14b)=-\frac12(\frac19a+\frac12b)$
Задание № 291
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Решение:
На шахматной доске 8 рядов по 8 клеток, то есть всего 8 * 8 = 64 клетки.
Первую ладью (без разницы какого цвета) можно поставить на любую из 64 клеток, а значит 64 способами. При этом эта ладья будет бить 7 клеток по горизонтали и 7 клеток по вертикали (клетку, где стоит сама ладья, не считаем).
После каждого такого выбора остаётся 7 ⋅ 7 = 49 клеток, которые может занять вторая ладья, то есть поставить её можно 49 способами, тогда:
64 * 49 = 3136 способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга.
