Задание 233

Представьте в виде степени с основанием 5 выражение:

1) $125^6=(5^3)^6=5^{3\ast6}=5^{18}$

2) $(25^4)^2=((5^2)^4)^2=5^{2\ast4\ast2}=5^{16}$

Задание 234

Представьте в виде степени с основанием −5 выражение:

1) $625^5=((-5)^4)^5=(-5)^{4\ast5}=(-5)^{20}$

2) $((-25)^2)^3=(((-5)^2)^2)^3=(-5)^{2\ast2\ast3}=(-5)^{12}$

Задание 235

Представьте в виде степени с основанием 2 выражение:

1) $8^9\ast4^5=(2^3)^9\ast(2^2)^5=2^{3\ast9}\ast2^{2\ast5}=2^{27}\ast2^{10}=2^{27+10}=2^{37}$

2) $32\ast16^6\ast64^3=2^5\ast(2^4)^6\ast(2^6)^3=2^5\ast2^{4\ast6}\ast2^{6\ast3}=2^5\ast2^{24}\ast2^{18}=2^{5+24+18}=2^{47}$

Задание 236

Найдите значения выражения:

1) $(6^4)^4:(6^5)^3=6^{4\ast4}:6^{5\ast3}=6^{16}:6^{15}=6^{16-15}=6^1=6$

2) $8^3:4^4=(2^3)^3:(2^2)^4=2^{3\ast3}:2^{2\ast4}=2^9:2^8=2^{9-8}=2^1=2$

3) $\frac{7^{14}\ast(7^2)^3}{(7^3)^6\ast7^2}=\frac{7^{14}\ast7^{2\ast3}}{7^{3\ast6}\ast7^2}=\frac{7^{14}\ast7^6}{7^{18}\ast7^2}=\frac{7^{14+6}}{7^{18+2}}=\frac{7^{20}}{7^{20}}=1$

4) $\frac{25^3\ast125^2}{5^{10}}=\frac{(5^2)^3\ast(5^3)^2}{5^{10}}=\frac{5^{2\ast3}\ast5^{3\ast2}}{5^{10}}=\frac{5^6\ast5^6}{5^{10}}=\frac{5^{6+6}}{5^{10}}=\frac{5^{12}}{5^{10}}=\frac{5^2}1=25$

5) $\frac{3^8\ast7^8}{21^7}=\frac{(3\ast7)^8}{21^7}=\frac{21^8}{21^7}=\frac{21^1}1=21$

6) $\frac{5^9\ast4^6}{20^6}=\frac{5^9\ast4^6}{(5\ast4)^6}=\frac{5^9\ast4^6}{5^6\ast4^6}=\frac{5^9}{5^6}=\frac{5^3}1=125$

Задание 237

Вычислите:

1) $100^5:1000^2=(10^2)^5:(10^3)^2=10^{2\ast5}:10^{3\ast2}=10^{10}:10^6=10^{10-6}=10^4=10000$

2) $\frac{3^{10}\ast(3^3)^5}{(3^5)^4\ast3}=\frac{3^{10}\ast3^{3\ast5}}{3^{5\ast4}\ast3}=\frac{3^{10}\ast3^{15}}{3^{20}\ast3}=\frac{3^{10+15}}{3^{20+1}}=\frac{3^{25}}{3^{21}}=\frac{3^4}1=81$

3) $\frac{4^3\ast16^2}{2^{12}}=\frac{(2^2)^3\ast(2^4)^2}{2^{12}}=\frac{2^{2\ast3}\ast2^{4\ast2}}{2^{12}}=\frac{2^6\ast2^8}{2^{12}}=\frac{2^{6+8}}{2^{12}}=\frac{2^{14}}{2^{12}}=\frac{2^2}1=4$

4) $\frac{45^{10}}{5^8\ast3^{19}}=\frac{(5\ast9)^{10}}{5^8\ast3^{19}}=\frac{5^{10}\ast9^{10}}{5^8\ast3^{19}}=\frac{5^{10}\ast(3^2)^{10}}{5^8\ast3^{19}}=\frac{5^{10}\ast3^{2\ast10}}{5^8\ast3^{19}}=\frac{5^{10}\ast3^{20}}{5^8\ast3^{19}}=5^2\ast3^1=25\ast3=75$

Задание 238

Вычислите значение выражения:

1) $(1\frac16)^9\ast(\frac67)^{10}=(\frac76)^9\ast(\frac67)^{10}=(\frac76)^9\ast(\frac67)^{10}=(\frac76\ast\frac67)^9\ast\frac67=1^9\ast\frac67=\frac67$

2) $5^{14}\ast0,2^{12}=5^{12}\ast5^2\ast0,2^{12}=(5\ast0,2)^{12}\ast5^2=1^{12}\ast5^2=25$

3) $(-1\frac13)^5\ast(\frac34)^8=(-\frac43)^5\ast(\frac34)^8=(-\frac43\ast\frac34)^5\ast(\frac34)^3=(-1)^5\ast(\frac34)^3=-\frac{27}{64}$

Задание 239

Найдите значение выражения:

1) $10^5\ast0,1^7=10^5\ast0,1^5\ast0,1^2=(10\ast0,1)^5\ast0,1^2=1^5\ast0,1^2=0,01$

2) $1,9^{14}\ast(\frac{10}{19})^{15}=(\frac{19}{10})^{14}\ast(\frac{10}{19})^{15}=(\frac{19}{10}\ast\frac{10}{19})^{14}\ast\frac{10}{19}^1=1^{14}\ast\frac{10}{19}=\frac{10}{19}$

Задание 240

Сравните значения выражений:
1) (− 5)$^{21}$ ∗ (− 5) и (− 5)$^{24}$;
2) (− 7)$^8$ ∗ (− 7)$^7$ и (− 7)$^{17}$;
3) (− 8)$^5$ ∗ (− 8)$^4$ и (− 8)$^8$;
4) (− 6)$^3$ ∗ (− 6)$^9$ и (− 6)$^13$.

Решение

1) $(-5)^{21}\ast(-5)=(-5)^{21+1}=(-5)^{22}$;
$(-5)^{22}>0$;
$(-5)^{24}>0$, следовательно:
$(-5)^{22}<(-5)^{24}$;
$(-5)^{21}\ast(-5)<(-5)^{24}$.

2) $(-7)^8\ast(-7)^7=(-7)^{8+7}=(-7)^{15}$;
$(-7)^{15}<0$;
$(-7)^{17}<0$, следовательно:
$(-7)^{15}>(-7)^{17}$;
$(-7)^8\ast(-7{)^7>(-7)^{17}}$.

3) $(-8)^5\ast(-8)^4=(-8)^{5+4}=(-8)^9$;
$(-8)^8>0$;
$(-8)^9<0$, следовательно:
$(-8)^9<(-8)^8$;
$(-8)^5\ast(-8)^4<(-8)^8$.

4) $(-6)^3\ast(-6)^9=(-6)^{3+9}=(-6)^{12}$;
$(-6)^{12}>0$;
$(-6)^{13}<0$, следовательно:
$(-6)^{12}>(-6)^{13}$;
$(-6)^3\ast(-6)^9>(-6)^{13}$.

Задание 241

Замените звездочку такой степенью, чтобы выполнялось равенство:
1) 8 × ∗ = 2$^8$;
2) $a^n\times\ast=a^{3n+2}$, где n − натуральное число.

Решение

1) $8\times\ast=2^8$
$2^3\times\ast=2^8$
8 − 3 = 5, значит:
$2^3\times2^5=2^8$

2) $a^n\times\ast=a^{3n+2}$
3n + 2 − n = 2n + 2, значит:
$a^n\times a^{2n+2}=a^{3n+2}$

Задание 242

Запишите выражение 3$^{24}$ в виде степени с основанием:
1) 3$^3$;
2) 3$^{12}$;
3) 9;
4) 81.

Решение

1) 24 : 3 = 8, следовательно:
$3^3=(3^3)^8=3^{3\ast8}=3^{24}$.

2) 24 : 12 = 2, следовательно:
$3^{12}=(3^{12})^2=3^{12\ast2}=3^{24}$.

3) 9 = 3$^2$
24 : 2 = 12, следовательно:
$3^2=(3^2)^{12}=3^{2\ast12}=3^{24}$.

4) 81 = 3$^4$
24 : 4 = 6, следовательно:
$3^4=(3^4)^6=3^{4\ast6}=3^{24}$.

Задание 243

Запишите выражение 2$^{48}$ в виде степени с основанием:
1) 2$^4$;
2) 2$^{16}$;
3) 8;
4) 64.

Решение

1) 48 : 4 = 12, следовательно:
$2^4=(2^4)^{12}=2^{4\ast12}=2^{48}$.

2) 48 : 16 = 3, следовательно:
$2^{16}=(2^{16})^3=2^{16\ast3}=2^{48}$.

3) $8=2^3$;
48 : 3 = 16, следовательно:
$8=2^3=(2^3)^{16}=2^{3\ast16}=2^{48}$.

4) $64=2^6$;
48 : 6 = 8, следовательно:
$64=2^6=(2^6)^8=2^{6\ast8}=2^{48}$.

Задание 244

Решите уравнение:
1) x$^7$ = 6$^{14}$;
2) x$^4$ = 5$^{12}$.

Решение

1) $x^7=6^{14}$
$x=6^{14:7}$
$x=6^2$
x = 36

2) $x^4=5^{12}$
$x=5^{12:4}$
$x=5^3$
x1 = 125
x2 = − 125

Задание 245

Сравните значение выражений:
1) 2$^{300}$ и 3$^{200}$;
2) 4$^{18}$ и 18$^9$;
3) 27$^{20}$ и 11$^{30}$;
4) 3$^{10}$ ∗ 5$^8$ и 15$^9$.

Решение

1) $2^{300}=(2^3)^{100}=8^{100}$
$3^{200}=(3^2)^{100}=9^{100}$
$8^{100}<9^{100}$, следовательно:
$2^{300}<3^{200}$

2) $4^{18}=(4^2)^9=16^9$
$16^9<18^9$, следовательно:
$4^{18}<18^9$

3) $27^{20}=(27^2)^{10}=729^{10}$
$11^{30}=(11^3)^{10}=1331^{10}$
$729^{10}<1331^{10}$, следовательно:
$27^{20}<11^{30}$

4) $3^{10}\ast5^8=3^2\ast3^8\ast5^8=3^2\ast(3\ast5)^8=9\ast15^8$
$9\ast15^8<15^9$, следовательно:
$3^{10}\ast5^8<15^9$.

Задание 246

Сравните значение выражений:
1) 10$^{40}$ и 10001$^{10}$;
2) 124$^4$ и 5$^{12}$;
3) 8$^{12}$ и 59$^6$;
4) 6$^{14}$ и 2$^{16}$ ∗ 3$^{12}$.

Решение

1) $10^{40}=(10^4)^{10}=10000^{10}$
$10000^{10}<10001^{10}$, следовательно:
$10^{40}<10001^{10}$

2) $5^{12}=(5^3)^4=125^4$
$124^4<125^4$, следовательно:
$124^4<5^{12}$

3) $8^{12}=(8^2)^6=64^6$
$64^6>59^6$, следовательно:
$8^{12}>59^6$

4) $2^{16}\ast3^{12}=2^4\ast2^{12}\ast3^{12}=16\ast(2\ast3)^{12}=(6)^{12}\ast16$
$6^{14}=6^{12}\ast6^2=6^{12}\ast36$
$6^{12}\ast36>(6)^{12}\ast16$, следовательно:
$6^{14}>2^{16}\ast3^{12}$

 

Комментарии  

#1 Meri Cool 25.02.2021 13:42
я одна сижу тут голову ломаю над этими чортиками