Задание 194
При каком значении переменной данное выражение принимает наибольшее значение:
1) 10 − x$^2$;
2) 24 − (x + 3)$^6$?
Решение
1) При x = 0 значение выражения 10 − x$^2$ принимает наибольшее значение:
10 − 0$^2$ = 10 − 0 = 10.
2) При x = −3 значение выражения 24 − (x + 3)$^6$ принимает наибольшее значение:
24 − (− 3 + 3)$^6$ = 24 − 0$^6$ = 24 − 0 = 24.
Задание 195
Докажите, что значение выражения:
1) 101$^{101}$ + 103$^{103}$ делится нацело на 2;
2) 16$^7$ + 15$^8$ − 11$^9$ делится нацело на 10;
3) 10$^{10}$ − 7 делится нацело на 3;
4) 6$^n$ − 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Решение
1) При возведении нечетного числа в степень с нечетным показателем получаем нечетное число, тогда:
101$^{101}$ − нечетное число;
103$^{103}$ − нечетное число.
Сумма двух нечетных чисел, есть число четное, а четное число всегда нацело делится на 2.
2) Значение степени 16$^7$ оканчивается на 6, так как перемножается само на себя число 16, которое на конце имеет цифру 6;
Значение степени 15$^8$ оканчивается на 5, так как перемножается само на себя число 15, которое на конце имеет цифру 5;
Значение степени 11$^9$ оканчивается на 11, так как перемножается само на себя число 11, которое на конце имеет цифру 1, значит значение выражения:
16$^7$ + 15$^8$ − 11$^9$ будет иметь на конце цифру 0, так как 6 + 5 − 1 = 10, и будет нацело делиться на 10.
3) Значение степени 10$^{10}$ состоит из одной цифры 1 и десяти цифр 0 и если из него вычесть 7, то получим число состоящее из девяти цифр 9 и одной цифры 3, тогда:
9 * 9 + 3 = 81 + 3 = 84
8 + 4 = 12
1 + 2 = 3, следовательно 10$^{10}$ − 7 делится нацело на 3, так сумма цифр значения данного выражения делится нацело на 3.
4) Значение степени 6$^n$ оканчивается на 6, так как перемножается само на себя число 6, следовательно значение выражения 6$^n$ − 1 будет иметь на конце цифру 5, так как 6 − 1 = 5 и следовательно оно будет нацело делится на 5.
Задание 196
Докажите, что значение выражения:
1) 10$^{100}$ + 8 делится нацело на 9;
2) 111$^n$ − 6 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.
Решение
1) Значение степени 10$^{100}$ состоит из одной цифры 1 и ста цифр 0 и если к нему прибавить 8, то получим число состоящее из из одной цифры 1, девяносто девяти цифр 0 и одной цифры 8, тогда:
1 + 99 * 0 + 8 = 9, следовательно 10$^{100}$ + 8 делится нацело на 9, так сумма цифр значения данного выражения делится нацело на 9.
2) Значение степени 111$^n$ оканчивается на 1, так как перемножается само на себя число 111, которое имеет ан конце цифру 1, следовательно значение выражения 111$^n$ − 6 будет иметь на конце цифру 5, так как 1 − 5 = −5 и следовательно оно будет нацело делится на 5.
Задание 197
Вычислите значение выражения:
$(3\frac13\ast1,3-7,2\ast\frac2{27}-9,1:3,5):\frac25=(\frac{10}3\ast\frac{13}{10}-\frac{36}5\ast\frac2{27}-2,6)\ast\frac52=(\frac13\ast\frac{13}1-\frac45\ast\frac23-2,6)\ast\frac52=(\frac{13}3-\frac8{15}-\frac{13}5)\ast\frac52=(\frac{65}{15}-\frac8{15}-\frac{39}{15})\ast\frac52=\frac{18}{15}\ast\frac52=\frac65\ast\frac52=\frac31\ast\frac11=3$
Задание 198
К слитку сплава массой 400 кг, содержащего 15 % меди, добавили 25 кг меди. Каким стало процентное содержание меди в новом слитке?
Решение
15% = 0,15
400 * 0,15 = 60 (кг) - меди было первоначальном слитке;
60 + 25 = 85 (кг) - меди стало в новом слитке;
400 + 25 = 425 (кг) - составила масса нового слитка;
$\frac{85}{425}\ast100\%=\frac{85\ast100}{425\%}=\frac{5\ast4}{1\%}=20\%$ содержание меди в новом слитке.
Ответ: 20%.
Задание 199
В одном мешке было 80 кг сахара, а в другом − 60 кг. Из первого мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из второго, после чего во втором мешке осталось сахара в 2 раза больше, чем в первом. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?
Решение
Пусть x кг сахара взяли из второго мешка, тогда 3x кг сахара взяли из первого мешка, (80 − 3x) кг сахара осталось в первом мешке,
(60 − x) кг сахара осталось во втором мешке.
Составим уравнение:
$\frac{60-x}{80-3x}=2$
2(80 − 3x) = 60 − x
160 − 6x = 60 − x
−6x + x = 60 − 160
−5x = −100
x = −100 : −5
x = 20
Значит, 20 кг сахара взяли из второго мешка;
3x = 3 * 20 = 60 (кг) - сахара взяли из первого мешка.
Ответ: 20 кг, 60 кг.
Задание 200
Решите уравнение:
1) 9(2x − 1) − 5(11 − x) = 3(x + 4);
2) 5x − 26 = 12x − 7(x − 4).
Решение
1) 9(2x − 1) − 5(11 − x) = 3(x + 4)
18x − 9 − 55 + 5x = 3x + 12
18x + 5x − 3x = 12 + 9 + 55
20x = 76
$x=\frac{76}{20}$
$x=\frac{38}{10}$
x = 3,8
2) 5x − 26 = 12x − 7(x − 4)
5x − 26 = 12x − 7x + 28
5x − 12x + 7x = 28 + 26
0x = 54
0 ≠ 54
уравнение не имеет корней.
Задание 201
Известно, что одно из чисел a, b и c положительное, второе − отрицательное, а третье равно нулю, причем |a| = b$^2$(b − c). Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю.
Решение
c = 0, так как при a или b равным 0 условие равенства |a| = b$^2$(b − c) не выполняется, получается:
|a| = b$^2$( b − 0 )
|a| = b$^2$ ∗ b − b$^2$ ∗ 0
|a| = b$^3$, следовательно b не может быть отрицательным числом, так как модуль числа не может быть отрицательным, а это значит, что:
a < 0;
b > 0;
с = 0.
Задание 202
Сравните значения выражений:
1) 2$^2$ ∗ 2$^3$ и 2$^5$;
2) 4$^2$ ∗ 4$^1$ и 4$^3$;
3) (3$^3$)$^2$ и 3$^6$;
4) ((1/2)$^4$)$^3$ и (1/2)$^{12}$;
5) 5$^3$ ∗ 2$^3$ и (5 ∗ 2)$^3$;
6) (0,25 ∗ 4)$^2$ и 0,25$^2$ ∗ 4$^2$.
Решение
1) $2^2\ast2^3=2^{2+3}=2^5$
$2^2\ast2^3=2^5$
2) $4^2\ast4^1=4^{2+1}=4^3$
$4^2\ast4^1=4^3$
3) $(3^3)^2=3^{3\ast2}=3^6$
$(3^3)^2=3^6$
4) $((\frac12)^4)^3=(\frac12)^{4\ast3}=(\frac12)^{12}$
$((\frac12)^4)^3=(\frac12)^{12}$
5) $5^3\ast2^3=(5\ast2)^3$
$(5\ast2)^3=5^3\ast2^3$
6) $(0,25\ast4)^2=0,25^2\ast4^2$
$0,25^2\ast4^2=(0,25\ast4)^2$
Задание 203
В некотором городе с любой станции метро можно проехать на любую другую станцию (возможно, с пересадками). Докажите, что существует станция которую можно закрыть (без права проезда через нее), и при этом с любой из оставшихся станций можно будет проехать на любую другую.
Решение
Можно закрыть любую конечную станцию, и проезд на все остальные сохранится. В случае кольца можно закрыть одну абсолютно любую станцию. Доказательство. Возьмем 2 самых удаленных друг от друга по количеству остановок станции. Тогда маршрут максимальной длины, начинающийся в первой станции, закончится на последней станции, и дальше пассажир не поедет. Значит, в случае закрытия последней станции связь между первой станцией и любой другой станцией сохранится. При этом связь между любыми другими станциями также сохранится, потому что между ними можно проехать, пусть даже с пересадкой.
