Задание 145
Докажите, что не являются тождественно равными выражения:
1) 4 − m$^2$ и (2 − m)$^2$;
2) |−m| и m;
3) m$^3$ + 8 и (m + 2)(m$^2$ + 4).
Решение
1) Допустим m = 1, тогда:
4 − m$^2$ = (2 − m)$^2$
4 − 1$^2$ = (2 − 1)$^2$
4 − 1 = 1$^2$
3 ≠ 1, следовательно равенство не является тождеством.
2) Допустим m = −1, тогда:
|−m| = m
|−(−1)| = −1
|1| = −1
1 ≠ −1
3) Допустим m = 1, тогда:
m$^3$ + 8 = ( m + 2) (m$^2$ + 4)
1$^3$ + 8 = ( 1 + 2 ) (1$^2$ + 4)
1 + 8 = 3(1 + 4)
9 = 3 * 5
9 ≠ 15, следовательно равенство не является тождеством.
Задание 146
Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние меду станциями?
Решение
12 − 8 = 4 (ч) - после встречи будет идти до станции назначения пассажирский поезд.
Пусть товарному поезду после встречи осталось идти x часов.
Составим пропорцию:
$\frac x8=\frac84$
4x = 8 * 8
x = 64 : 4x
x = 16
Значит, 16 часов потребуется товарному поезду на оставшийся путь.
16 + 8 = 24 (ч.) - потребуется товарному поезду, чтобы преодолеть расстояние меду станциями.
Ответ: 24 часа.
Задание 147
Фермер выращивал гречиху на двух участках общей площадью 24 га. На одном участке он собрал по 8 ц гречихи с гектара, а на втором − по 9 ц с гектара. Сколько всего центнеров гречихи собрал фермер, если со второго участка он собрал на 46 ц гречихи больше, чем с первого?
Решение
Пусть x га площадь первого участка, тогда (24 − x) га площадь второго участка, 8x ц гречихи собрал фермер с первого участка, 9(24 − x) ц гречихи собрал фермер со второго участка.
Составим уравнение:
9(24 − x) − 8x = 46
216 − 9x − 8x = 46
−9x − 8x = 46 − 216
−17x = −170
x = −170 : −17
x = 10
Значит, 10 га - площадь первого участка;
24 − x = 24 − 10 = 14 (га) - площадь второго участка;
8x = 8 * 10 = 80 (ц) - гречихи собрал фермер с первого участка;
9 * 14 = 126 (ц) - гречихи собрал фермер с первого участка;
80 + 126 = 206 (ц) - гречихи собрал фермер всего.
Ответ: 206 центнеров.
Задание 148
Известно, что a > 0, a + b < 0. Сравните:
1) b и 0;
2) |a| и |b|.
Решение
1) b < 0, так как a > 0, а сумма a + b < 0, то значит что число b − отрицательное.
2) |a| < |b|, так для того, чтобы выполнялось условие a + b < 0, при том что число a − положительное, число b должно быть отрицательным и при этом с большим модулем, чем число a.
Задание 149
Цену товара сначала увеличили на 50 %, а потом уменьшили на 50 %. Увеличилась или уменьшилась и на сколько процентов начальная цена товара?
Решение
50% = 0,5
Пусть x рублей первоначальная цена товара, тогда 50,5 * x + x = x(0,5 + 1) = 1,5x рублей цена товара после повышения, 1,5x − 1,5x * 50% = 1,5x(1 − 0,5) = 1,5x * 0,5 = 0,75x рублей цена товара после понижения.
x − 0,75x = 0,25x,
0,25 = 25% , следовательно начальная цена товара после двух изменений уменьшилась на 25%.
Ответ: уменьшилась на 25%.
Задание 150 (учебник 2019 года)
На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2014 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2014 году − 183? Ответ округлите до десятых процента.
Решение
Составим пропорцию:
↓138 театров − 100%↓
183 театр − x%
$\frac{138}{183}=\frac{100}x$
138x = 183 * 100
x = 18300 : 138
x ≈ 132,6%, тогда:
132,6% − 100% = 32,6%, то есть на 32,6% увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2014 год.
Ответ: на 32,6%
Задание 150 (учебник 2018 года)
На сколько процентов увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2008 год, если в 1995 году таких театров было 138, а в 2008 году − 161? Ответ округлите до десятых процента.
Решение
Составим пропорцию:
↓138 театров − 100%↓
161 театр − x%
$\frac{138}{161}=\frac{100}x$
138x = 161 * 100
x = 16100 : 138
x ≈ 116,7%, тогда:
116,7% − 100% = 16,7%, то есть на 16,7% увеличилось в России количество детских театров и театров юного зрителя с 1995 по 2088 год.
Ответ: на 16,7%
Задание 151
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 10. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить 5 или из каждого вычесть 1. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске оказались равными?
Решение
Сумма записанных на доске чисел равна 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55 , а это нечётное число.
Теперь следует заметить, что после каждой операции сумма записанных на доске чисел увеличивается на 10 или уменьшается на 2. И в том и в другом случае вновь полученная сумма остается нечетной. Если предположить, что в некоторый момент все 10 записанных на доске чисел оказались равными, то их сумма будет числом чётным. Получаем противоречие.
Ответ: нельзя.
