Задание № 1047

Сколько вершин, ребер, граней:
а) у семиугольной призмы;
б) у десятиугольной призмы;
в) у n−угольной призмы?

Решение

а) У семиугольной призмы:
14 − вершин;
21 − ребро;
9 − граней.

б) У десятиугольной призмы:
20 − вершин;
30 − ребер;
12 − граней.

в) У n−угольной призмы:
2n − вершин;
3n − ребер;
n + 2 − грани.

Задание № 1048

а) У призмы 2000 вершин. Сколько вершин в каждом основании этой призмы? Назовите эту призму. Существует ли призма, у которой 2001 вершина?
б) У призмы 33 ребра. Какая это призма? Существует ли призма, у которой 100 ребер?
в) У призмы 22 грани. Какая это призма? Существует ли призма, у которой 23 грани?
г) Сумма числа вершин и ребер призмы равна 25. Какая это призма?

Решение

а) 2000 : 2 = 1000 (вершин) − в каждом основании этой призмы, значит это 1000−угольная призма.
Призмы у которой 2001 вершина не существует, так как вершин всегда четное количество.
Ответ: 1000 вершин; 1000−угольная призма; не существует.

б) 33 : 3 = 11 (боковых ребер) − у призмы, значит она 11−угольная.
Призма, у которой 100 ребер не существует, так как количество ребер должно делиться на 3.
Ответ: 11−угольная призма; не существует.

в) 22 − 2 = 20 (боковых граней) − у призмы, значит это 20−угольная призма.
Призма с 23 гранями существует, это 23 − 2 = 21−угольная призма.
Ответ: 20−угольная призма; существует.

г) Пусть x (ребер) − у призмы, тогда:
$\frac{1}{3}x$ (боковых ребер) − у призмы;
$\frac{1}{3}x * 2 = \frac{2}{3}x$ (вершин) − у призмы.
Так как, сумма числа вершин и ребер призмы равна 25, составим уравнение:
$\frac{2}{3}x + x = 25$
$\frac{5}{3}x = 25$
$x = 25 : \frac{5}{3}$
$x = 25 * \frac{3}{5}$
x = 15 (ребер) − у призмы;
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{3} * 15 = 5$ (боковых ребер) − у призмы, значит призма пятиугольная.
Ответ: пятиугольная призма.

Задание № 1049

Известно, что многогранник является либо пирамидой, либо призмой. Что это за многогранник, если у него:
а) 13 вершин;
б) 15 ребер?

Решение

а) Это пирамида, так как у призмы четное количество вершин.

б) Это призма, так как у пирамиды четное количество ребер.

Задание № 1050

Найдите объем многогранника (рис.12.40,а−в).

Решение

а) 7 * 5 * 6 : 2 = 35 * 6 : 2 = 210 : 2 = 105 $(см^3)$ − объем многогранника.
Ответ: 105 $см^3$

б) 1) 12 * 12 * 12 = 144 * 12 = 1728 $(см^3)$ − объем всего куба;
2) 1728 : 4 = 432 $(см^3)$ − объем каждой треугольной призмы;
3) 432 * 3 = 1296 $(см^3)$ − объем многогранника.
Ответ: 1296 $см^3$

в) 1) 10 * 10 * 24 = 2400 $(см^3)$ − объем прямоугольного параллелепипеда;
2) 5 * 5 * 24 : 2 = 25 * 24 : 2 = 600 : 2 = 300 $(см^3)$ − объем выпиленной части;
3) 2400 − 300 = 2100 $(см^3)$ − объем многогранника.
Ответ: 2100 $см^3$.

Задание № 1051

Запишите формулу для вычисления объема V многогранника (рис.12.41,а−в).

Решение

а) 1) x * y * b − объем верхней фигуры;
2) c * a * b − объем нижней фигуры;
3) x * y * b + c * a * b = b(xy + ac) − объем многогранника.
Ответ: V = b(xy + ac)

б) 1) $a * a * a = a^3$ − объем куба;
2) $x * x * a = x^2 * a$ − объем выпиленной части;
3) $a^3 - x^2 * a = a(a^2 - x^2)$ − объем многогранника.
Ответ: $V = a(a^2 - x^2)$

в) 1) a * b * c − объем прямоугольного параллелепипеда;
2) $a * b * c : 2 = \frac{abc}{2}$ − объем многогранника.
Ответ: $V = \frac{abc}{2}$.