Ответы к параграфу 10.4 Комбинаторные задачи

Вопросы к параграфу

1. Можете ли вы, не выполняя перебора, ответить на такие вопросы:
а) сколькими способами могут распределиться золотая, серебряная и бронзовая медали на чемпионате по фигурному катанию между тремя претендентами на место в тройке призеров;
б) сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 2, 4, 8, используя каждую цифру только один раз?

Решение

а) Первое место может занять один из 3−х спортсменов, значит 1 место можно выбрать тремя способами.
Второе место может занять один из 2−х оставшихся спортсменов, значит 2 место можно выбрать двумя способами.
Третье место может занять только последний оставшийся спортсмен, то есть 3 место можно выбрать только одним способом.
3 + 2 + 1 = 6 (способов) − всего для распределения медалей.
Ответ: 6 способов.

б) Первой цифрой может быть одна из трех цифр, значит для выбора первой цифры есть три способа.
Второй цифрой может быть одна из двух оставшихся цифр, значит для выбора второй цифры есть два способа.
Третьей цифрой может быть только одна оставшаяся цифра, значит для выбора третьей цифры есть только один способ.
3 + 2 + 1 = 6 (чисел) − можно составить.
Ответ: 6 чисел.

2. Почему среди кодов рукопожатий нет, например, такого числа, как 33? Почему есть код 24 и нет кода 42?

Решение

Кода 33 нет, так как третий приятель не может поздороваться сам с собой.
Код 42 соответствует коду 24. Поэтому чтобы не засчитать одно рукопожатие между вторым и четвертым приятелем 2 раза, код 42 исключили.

3. Попробуйте дать ответ на вопрос следующей задачи с помощью построенной выше таблицы числовых кодов: "В турнире участвовали 6 шахматистов, и каждый из них сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?"

Решение

Присвоим каждому из шахматистов номер − от 1 до 6, тогда каждую партию можно закодировать двузначным числом:
12 13 14 15 16 − 5;
23 24 25 26 − 4;
34 35 36 − 3;
45 46 − 2;
56 − 1.
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (партий) − всего было сыграно.
Ответ: 15 партий.

4. Решите задачу о прожекторах при условии, что всего имеется 3 прожектора. Сколько в таком случае будет вариантов освещения сцены?

Решение

Задача.
Театральную сцену освещают 3 прожектора разных цветов: белый, красный, зеленый. Каждый включается и выключается по отдельности. Сколько имеется вариантов освещения сцены?
Решение:
Обозначим:
б − белый прожектор;
к − красный прожектор;
з − зеленый прожектор.
Тогда возможны варианты:
все прожекторы погашены (−) 1 вариант;
горит один прожектор (б, к, з) − 3 варианта;
горит два прожектора (бк, бз, кз) − 3 варианта;
горит три прожектора (бкз) − 1 вариант.
1 + 3 + 3 + 1 = 8 (вариантов) − освещения всего.
Ответ: 8 вариантов.