Задание 25. Найдите значение выражения:
а) $25 * (\frac{7}{10} + \frac{3}{5} + \frac{1}{2})$;
б) $(\frac{5}{12} + \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) : \frac{15}{16}$;
в) $5 : 1\frac{1}{4} + 7 : 1\frac{1}{3}$;
г) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} * \frac{8}{15} - \frac{3}{10}$.
Решение
а) $25 * (\frac{7}{10} + \frac{3}{5} + \frac{1}{2}) = \frac{25}{1} * \frac{7 * 1 + 3 * 2 + 1 * 5}{10} = \frac{25}{1} * \frac{7 + 6 + 5}{10} = \frac{25}{1} * \frac{18}{10} = \frac{25 * 18}{1 * 10} = \frac{5 * 9}{1} = 45$
б) $(\frac{5}{12} + \frac{1}{6} + \frac{3}{8}) : \frac{15}{16} = \frac{5 * 2 + 1 * 4 + 3 * 3}{24} * \frac{16}{15} = \frac{10 + 4 + 9}{24} * \frac{16}{15} = \frac{23 * 16}{24 * 15} = \frac{23 * 2}{3 * 15} = \frac{46}{45} = 1\frac{1}{45}$
в) $5 : 1\frac{1}{4} + 7 : 1\frac{1}{3} = \frac{5}{1} : \frac{5}{4} + \frac{7}{1} : \frac{4}{3} = \frac{5}{1} * \frac{4}{5} + \frac{7}{1} * \frac{3}{4} = \frac{5 * 4}{5} + \frac{7 * 3}{4} = \frac{1 * 4}{1} + \frac{21}{4} = 4 + 5\frac{1}{4} = 9\frac{1}{4}$
г) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} * \frac{8}{15} - \frac{3}{10} = \frac{1}{2} + \frac{3 * 8}{4 * 15} - \frac{3}{10} = \frac{1}{2} + \frac{1 * 2}{1 * 5} - \frac{3}{10} = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{3}{10} = \frac{1 * 5 + 2 * 2 - 3}{10} = \frac{5 + 4 - 3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Задание 26. Решите задачу и прокомментируйте свои действия.
а) В субботу Толя покрасил $\frac{1}{2}$ забора. В воскресенье три друга пришли ему помочь. Вместе с Толей они разделили непокрашенную часть забора поровну и докрасили забор. Какую часть забора покрасил каждый из них в воскресенье?
б) Три школьницы решили написать поздравительные открытки к празднику. Они разделили всю работу поровну. Одна из девочек, Таня, нашла себе трех помощниц, с которыми разделила свою часть работы поровну. Какую часть всей работы выполнила Таня?
Решение
а) Так как Толя покрасил $\frac{1}{2}$ забора, то:
1) $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (забора) − осталось покрасить;
Так как пришло три друга, то:
2) 1 + 3 = 4 (ч.) − красило забор в воскресенье;
Так как 4 человека поровну окрасили половину забора, то:
3) $\frac{1}{2} : 4 = \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ (забора) − покрасил каждый из ребят в воскресенье.
Ответ: $\frac{1}{8}$ забора
б) Пусть вся работа равна 1, и раз каждой из трех девочек осталось работы поровну, то:
1) $1 : 3 = \frac{1}{3}$ (открыток) − нужно было написать каждой из трех девочек;
Так как, к Тане пришло 3 помощницы, то:
2) 1 + 3 = 4 (д.) − писали Танины открытки;
Так как каждая из четырех девочек написали Танины открытки поровну, то:
3) $\frac{1}{3} : 4 = \frac{1}{3} * \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ (открыток) − написала Таня.
Ответ: $\frac{1}{12}$ часть всех открыток.
Задание 27. Решите задачу и прокомментируйте свои действия.
а) У Андрея два аквариума. Длина, ширина и высота одного из них $\frac{9}{10}$ м, $\frac{2}{5}$ м и $\frac{1}{2}$ м, а другого − $\frac{4}{5}$ м, $\frac{3}{4}$ м и $\frac{3}{10}$ м. В какой из аквариумов вмещается больше воды?
б) Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели параллелепипеда с измерениями $\frac{4}{5}$ дм, $1\frac{1}{5}$ дм и $1\frac{2}{5}$ дм?
Решение
а) Объем аквариума равен произведению его длины, ширины и высоты, тогда:
1) $\frac{9}{10} * \frac{2}{5} * \frac{1}{2} = \frac{9 * 1 * 1}{10 * 5 * 1} = \frac{9}{50} (м^3)$ − объем первого аквариума;
2) $\frac{4}{3} * \frac{3}{4} * \frac{3}{10} = \frac{1 * 3 * 3}{5 * 1 * 10} = \frac{9}{50} (м^3)$ − объем второго аквариума;
3) $\frac{9}{50} = \frac{9}{50}$ − объемы аквариумов равны.
Ответ: в оба аквариума вмещается одинаковое количество воды.
б) Найдем сумму длину ребер прямоугольного параллелепипеда, у него 4 тройки равных ребер:
$4 * (\frac{4}{5} + 1\frac{1}{5} + 1\frac{2}{5}) = 4 * 2\frac{7}{5} = 4 * 3\frac{3}{5} = \frac{4}{1} * \frac{17}{5} = \frac{68}{5} = 13\frac{3}{5}$ (дм) − проволоки потребуется.
Ответ: $13\frac{3}{5}$ дм
Задание 28. а) Брат может прополоть грядку за 30 мин, а его младшая сестра − за 60 мин. За сколько минут они могут прополоть грядку, работая вместе?
1) Какую часть грядки пропалывает каждый из них за 1 мин?
2) Какую часть грядки пропалывают они за 1 мин, работа вместе?
3) За сколько минут брат с сестрой пропалывают грядку, работая вместе?
б) Мама может почистить картофель для обеда за 16 мин, а сыну на эту работу потребуется 48 мин. За сколько минут они почистят весь картофель, работая вместе?
Сравните задачу с задачей а) и решите ее по такому же плану.
Решение
а) Пусть вся грядка равна 1, тогда:
1) $1 : 30 = \frac{1}{30}$ (грядки) − пропалывает брат за 1 минуту;
$1 : 60 = \frac{1}{60}$ (грядки) − пропалывает сестра за 1 минуту;
2) $\frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2 + 1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ (грядки) − пропалывают брат с сестрой вместе за 1 минуту;
3) $1 : \frac{1}{20} = 1 * \frac{20}{1} = 20$ (мин) − требуется брату с сестрой, чтобы прополоть всю грядку.
Ответ: за 20 минут.
б) Пусть весь картофель равен 1, тогда:
1) $1 : 16 = \frac{1}{16}$ (картофеля) − чистит мама за 1 минуту;
$1 : 48 = \frac{1}{48}$ (картофеля) − чистит сын за 1 минуту;
2) $\frac{1}{16} + \frac{1}{48} = \frac{3 + 1}{48} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$ (картофеля) − чистят мама и сын за 1 минуту вместе;
3) $1 : \frac{1}{12} = 1 * \frac{12}{1} = 12$ (минут) − потребуется маме и сыну, чтобы почистить весь картофель.
Ответ: за 12 минут.
Задание 29. Располодите в порядке возастания следующие суммы:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{8}$;
$\frac{1}{4} + \frac{1}{7}$;
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6}$;
$\frac{1}{2} + \frac{1}{9}$.
Решение
$\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{1 * 8 + 1 * 3}{24} = \frac{11}{24}$;
$\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1 * 7 + 1 * 4}{28} = \frac{11}{28}$;
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6 + 5}{30} = \frac{11}{30}$;
$\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{1 * 9 + 1 * 2}{18} = \frac{11}{18}$.
Ответ:
$\frac{11}{30} < \frac{11}{28} < \frac{11}{24} < \frac{11}{18}$
Задание 30. Выполните действия:
а) $6\frac{6}{11} * \frac{3}{4} : 2\frac{2}{5} * 2\frac{1}{5}$;
б) $9 : 6\frac{1}{4} * 2\frac{1}{2} : \frac{3}{5}$;
в) $9\frac{1}{3} : \frac{7}{8} * \frac{9}{16} : \frac{14}{27}$;
г) $1\frac{5}{6} : 2\frac{1}{3} * 3\frac{3}{4} * 4\frac{1}{5}$.
Решение
а) $6\frac{6}{11} * \frac{3}{4} : 2\frac{2}{5} * 2\frac{1}{5} = \frac{72}{11} * \frac{3}{4} : \frac{12}{5} * \frac{11}{5} = \frac{72}{11} * \frac{3}{4} * \frac{5}{12} * \frac{11}{5} = \frac{72 * 3 * 5 * 11}{11 * 4 * 12 * 5} = \frac{6 * 3 * 1 * 1}{1 * 4 * 1 * 1} = \frac{3 * 3}{2} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$
б) $9 : 6\frac{1}{4} * 2\frac{1}{2} : \frac{3}{5} = \frac{9}{1} : \frac{25}{4} * \frac{5}{2} * \frac{5}{3} = \frac{9 * 4 * 5 * 5}{25 * 2 * 3} = \frac{3 * 2 * 1 * 1}{1 * 1 * 1} = 6$
в) $9\frac{1}{3} : \frac{7}{8} * \frac{9}{16} : \frac{14}{27} = \frac{28}{3} * \frac{8}{7} * \frac{9}{16} * \frac{27}{14} = \frac{2 * 1 * 3 * 27}{1 * 7 * 2 * 1} = \frac{3 * 27}{7} = \frac{81}{7} = 11\frac{4}{7}$
г) $1\frac{5}{6} : 2\frac{1}{3} * 3\frac{3}{4} * 4\frac{1}{5} = \frac{11}{6} : \frac{7}{3} * \frac{15}{4} * \frac{21}{5} = \frac{11}{6} * \frac{3}{7} * \frac{15}{4} * \frac{21}{5} = \frac{11}{6} * \frac{3}{7} * \frac{15}{4} * \frac{21}{5} = \frac{11 * 3 * 15 * 21}{6 * 7 * 4 * 5} = \frac{11 * 1 * 3 * 3}{2 * 1 * 4 * 1} = \frac{99}{8} = 12\frac{3}{8}$
