Ответы к разделу учебника 1.2 Вычисления с дробями

Задание 17. Найдите сумму или разность:
а) $\frac{5}{24} + \frac{3}{8}$;
б) $\frac{7}{10} - \frac{2}{5}$;
в) $\frac{7}{9} - \frac{5}{7}$;
г) $\frac{2}{3} + \frac{7}{8}$;
д) $\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$;
е) $\frac{5}{6} + \frac{1}{9}$;
ж) $\frac{8}{25} + \frac{17}{20}$;
з) $\frac{4}{45} - \frac{1}{30}$;
и) $\frac{17}{18} - \frac{11}{12}$;
к) $\frac{11}{15} + \frac{5}{12}$;
л) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$;
м) $\frac{3}{4} - \frac{2}{5}$.

Решение

а) $\frac{5}{24} + \frac{3}{8} = \frac{5 * 1 + 3 * 3}{24} = \frac{5 + 9}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$

б) $\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7 * 1 - 2 * 2}{10} = \frac{7 - 4}{10} = \frac{3}{10}$

в) $\frac{7}{9} - \frac{5}{7} = \frac{7 * 7 - 5 * 9}{63} = \frac{49 - 45}{63} = \frac{4}{63}$

г) $\frac{2}{3} + \frac{7}{8} = \frac{2 * 8 + 7 * 3}{24} = \frac{16 + 21}{24} = \frac{37}{24} = 1\frac{13}{24}$

д) $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 * 3 - 1 * 2}{12} = \frac{9 - 2}{12} = \frac{7}{12}$

е) $\frac{5}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5 * 3 + 1 * 2}{18} = \frac{15 + 2}{18} = \frac{17}{18}$

ж) $\frac{8}{25} + \frac{17}{20} = \frac{8 * 4 + 17 * 5}{100} = \frac{32 + 85}{100} = \frac{117}{100} = 1\frac{17}{100}$

з) $\frac{4}{45} - \frac{1}{30} = \frac{4 * 2 - 1 * 3}{90} = \frac{8 - 3}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$

и) $\frac{17}{18} - \frac{11}{12} = \frac{17 * 2 - 11 * 3}{36} = \frac{34 - 33}{36} = \frac{1}{36}$

к) $\frac{11}{15} + \frac{5}{12} = \frac{11 * 4 + 5 * 5}{60} = \frac{44 + 25}{60} = \frac{69}{60} = 1\frac{9}{60} = 1\frac{3}{20}$

л) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 * 2 + 1 * 1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

м) $\frac{3}{4} - \frac{2}{5} = \frac{3 * 5 - 2 * 4}{20} = \frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}$

Задание 18. Двум дежурным было поручено вымыть парты в классе. Когда они закончили работу, то первый сказал, что вымыл $\frac{3}{5}$ всех парт, а второй сказал, что вымыл $\frac{2}{3}$ всех парт. Их товарищ заметил, что кто−то из них ошибся в расчетах. Как он догадался?

Решение

Все парты в классе должны составить единицу, тогда:
$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 * 3 + 2 * 5}{15} = \frac{9 + 10}{15} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15} ≠ 1$ − значит, кто−то ошибся в расчетах.

Задание 19. Выполните вычисления:
а) $4 + 5\frac{1}{4}$;
б) $1\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3}$;
в) $1\frac{3}{5} + 2\frac{2}{3}$;
г) $5\frac{3}{4} - 2$;
д) $3 - \frac{5}{7}$;
е) $4 - 1\frac{7}{9}$;
ж) $3\frac{2}{5} - \frac{3}{5}$;
з) $4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$.

Решение

а) $4 + 5\frac{1}{4} = 9\frac{1}{4}$

б) $1\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3} = (1 + 3) + (\frac{2}{9} + \frac{1}{3}) = 4 + \frac{2 * 1 + 1 * 3}{9} = 4 + \frac{2}{3} = 4 + \frac{5}{9} = 4\frac{5}{9}$

в) $1\frac{3}{5} + 2\frac{2}{3} = (1 + 2) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{3}) = 3 + \frac{3 * 3 + 2 * 5}{15} = 3 + \frac{9 + 10}{15} = 3 + \frac{19}{15} = 4\frac{4}{15}$

г) $5\frac{3}{4} - 2 = 3\frac{3}{4}$

д) $3 - \frac{5}{7} = 2\frac{7}{7} - \frac{5}{7} = 2\frac{2}{7}$

е) $4 - 1\frac{7}{9} = 3 - \frac{7}{9} = 2\frac{9}{9} - \frac{7}{9} = 2\frac{2}{9}$

ж) $3\frac{2}{5} - \frac{3}{5} = 2\frac{7}{5} - \frac{3}{5} = 2\frac{4}{5}$

з) $4\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} = 3\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 2 + 1\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 2 + (\frac{4}{3} - \frac{1}{2}) = 2 + \frac{4 * 2 - 1 * 3}{6} = 2 + \frac{8 - 3}{6} = 2 + \frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}$

Задание 20. Найдите произведение или частное:
а) $\frac{9}{10} * \frac{5}{12}$;
б) $\frac{3}{5} : \frac{11}{15}$;
в) $\frac{9}{22} * \frac{2}{3}$;
г) $\frac{7}{8} : \frac{7}{16}$;
д) $\frac{27}{40} : \frac{18}{35}$;
е) $\frac{8}{9} : 6$;
ж) $15 * \frac{5}{6}$;
з) $1 : \frac{3}{7}$;
и) $\frac{2}{3} * 12$;
к) $\frac{2}{3} : 18$;
л) $\frac{8}{27} * 36$;
м) $10 : \frac{4}{15}$.

Решение

а) $\frac{9}{10} * \frac{5}{12} = \frac{9 * 5}{10 * 12} = \frac{3 * 1}{2 * 4} = \frac{3}{8}$

б) $\frac{3}{5} : \frac{11}{15} = \frac{3}{5} * \frac{15}{11} = \frac{3 * 15}{5 * 11} = \frac{3 * 3}{1 * 11} = \frac{9}{11}$

в) $\frac{9}{22} * \frac{2}{3} = \frac{9 * 2}{22 * 3} = \frac{3 * 1}{11 * 1} = \frac{3}{11}$

г) $\frac{7}{8} : \frac{7}{16} = \frac{7}{8} * \frac{16}{7} = \frac{7 * 16}{8 * 7} = \frac{1 * 2}{1 * 1} = 2$

д) $\frac{27}{40} : \frac{18}{35} = \frac{27}{40} * \frac{35}{18} = \frac{27 * 35}{40 * 18} = \frac{3 * 7}{8 * 2} = \frac{21}{16} = 1\frac{5}{16}$

е) $\frac{8}{9} : 6 = \frac{8}{9} * \frac{1}{6} = \frac{8 * 1}{9 * 6} = \frac{4 * 1}{9 * 3} = \frac{4}{27}$

ж) $15 * \frac{5}{6} = \frac{15 * 5}{6} = \frac{5 * 5}{2} = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2}$

з) $1 : \frac{3}{7} = 1 * \frac{7}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

и) $\frac{2}{3} * 12 = \frac{2 * 12}{3} = \frac{2 * 4}{1} = \frac{8}{1} = 8$

к) $\frac{2}{3} : 18 = \frac{2}{3} * \frac{1}{18} = \frac{2 * 1}{3 * 18} = \frac{1 * 1}{3 * 9} = \frac{1}{27}$

л) $\frac{8}{27} * 36 = \frac{8 * 36}{27} = \frac{8 * 4}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$

м) $10 : \frac{4}{15} = 10 * \frac{15}{4} = \frac{10 * 15}{4} = \frac{5 * 15}{2} = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2}$

Задание 21. Пирог разделили на 6 равных частей. Одну из них разделили еще на 3 равные части. Какую часть пирога составляет одна маленькая часть? Выберите правильный ответ.
1) $\frac{1}{3}$;
2) $\frac{1}{9}$;
3) $\frac{1}{12}$;
4) $\frac{1}{18}$.

Решение

1) $1 : 6 = \frac{1}{6}$ (пирога) − составляет одна большая часть;
2) $\frac{1}{6} : 3 = \frac{1}{6} * \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$ (пирога) − составляет одна маленькая часть.
Ответ: 4) $\frac{1}{18}$

Задание 22. Вычислите:
а) $2\frac{7}{9} * 15$;
б) $28 * 1\frac{3}{4}$;
в) $1\frac{3}{5} * 2\frac{1}{2}$;
г) $3\frac{1}{3} * \frac{3}{5}$;
д) $3\frac{1}{3} : 30$;
е) $6 : 1\frac{1}{2}$;
ж) $1\frac{3}{4} : 10\frac{1}{2}$;
з) $5\frac{1}{5} : \frac{13}{15}$.

Решение

а) $2\frac{7}{9} * 15 = \frac{25}{9} * \frac{15}{1} = \frac{25 * 5}{3 * 1} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3}$

б) $28 * 1\frac{3}{4} = \frac{28}{1} * \frac{7}{4} = \frac{28 * 7}{1 * 4} = \frac{7 * 7}{1 * 1} = \frac{49}{1} = 49$

в) $1\frac{3}{5} * 2\frac{1}{2} = \frac{8}{5} * \frac{5}{2} = \frac{8 * 5}{5 * 2} = \frac{4 * 1}{1 * 1} = \frac{4}{1} = 4$

г) $3\frac{1}{3} * \frac{3}{5} = \frac{10}{3} * \frac{3}{5} = \frac{10 * 3}{3 * 5} = \frac{2 * 1}{1 * 1} = \frac{2}{1} = 2$

д) $3\frac{1}{3} : 30 = \frac{10}{3} * \frac{1}{30} = \frac{10 * 1}{3 * 30} = \frac{10 * 1}{3 * 30} = \frac{1 * 1}{3 * 3} = \frac{1}{9}$

е) $6 : 1\frac{1}{2} = \frac{6}{1} : \frac{3}{2} = \frac{6}{1} * \frac{2}{3} = \frac{6 * 2}{1 * 3} = \frac{2 * 2}{1 * 1} = \frac{4}{1} = 4$

ж) $1\frac{3}{4} : 10\frac{1}{2} = \frac{7}{4} : \frac{21}{2} = \frac{7}{4} * \frac{2}{21} = \frac{7 * 2}{4 * 21} = \frac{1 * 1}{2 * 3} = \frac{1}{6}$

з) $5\frac{1}{5} : \frac{13}{15} = \frac{26}{5} : \frac{13}{15} = \frac{26}{5} * \frac{15}{13} = \frac{26 * 15}{5 * 13} = \frac{2 * 3}{1 * 1} = \frac{6}{1} = 6$

Задание 23. Найдите значение степени:
$(\frac{3}{4})^2$;
$(\frac{2}{3})^3$;
$(1\frac{1}{2})^3$;
$(2\frac{1}{2})^2$.

Решение

$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3}{4} * \frac{3}{4} = \frac{3 * 3}{4 * 4} = \frac{9}{16}$;
$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{2}{3} = \frac{2 * 2 * 2}{3 * 3 * 3} = \frac{8}{27}$;
$(1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3}{2} * \frac{3}{2} * \frac{3}{2} = \frac{3 * 3 * 3}{2 * 2 * 2} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$;
$(2\frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{5}{2} * \frac{5}{2} = \frac{5 * 5}{2 * 2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

Задание 24. Выполните действия:
а) $\frac{9 * 7 * 5}{10 * 8 * 6}$;
б) $\frac{17 * 26 * 8}{13 * 51 * 9}$;
в) $\frac{3}{25} * \frac{5}{6} * \frac{10}{9}$;
г) $8 * \frac{9}{16} * \frac{7}{12}$;
д) $\frac{3}{8} * \frac{2}{15} : \frac{7}{20}$;
е) $\frac{4}{9} : \frac{8}{9} * \frac{10}{7}$.

Решение

а) $\frac{9 * 7 * 5}{10 * 8 * 6} = \frac{3 * 7 * 1}{2 * 8 * 2} = \frac{21}{32}$

б) $\frac{17 * 26 * 8}{13 * 51 * 9} = \frac{1 * 2 * 8}{1 * 3 * 9} = \frac{16}{27}$

в) $\frac{3}{25} * \frac{5}{6} * \frac{10}{9} = \frac{3 * 5 * 10}{25 * 6 * 9} = \frac{1 * 1 * 10}{5 * 2 * 9} = \frac{1}{9}$

г) $8 * \frac{9}{16} * \frac{7}{12} = \frac{8 * 9 * 7}{1 * 16 * 12} = \frac{1 * 3 * 7}{2 * 4} = \frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$

д) $\frac{3}{8} * \frac{2}{15} : \frac{7}{20} = \frac{3}{8} * \frac{2}{15} * \frac{20}{7} = \frac{3 * 2 * 20}{8 * 15 * 7} = \frac{1 * 1 * 20}{4 * 5 * 7} = \frac{5}{5 * 7} = \frac{1}{7}$

е) $\frac{4}{9} : \frac{8}{9} * \frac{10}{7} = \frac{4}{9} * \frac{9}{8} * \frac{10}{17} = \frac{4 * 9 * 10}{9 * 8 * 17} = \frac{1 * 1 * 10}{1 * 2 * 17} = \frac{5}{1 * 17} = \frac{5}{17}$