Задание 906
Решите по предложенному плану задачу: "Иван и Петр вместе подписали приглашения на школьный вечер за 12 мин. Иван, работая один, сможет сделать эту работу за 20 мин. За какое время подписал бы все приглашения Петр?"
План решения:
1) Какую часть всех приглашений подписывают мальчики за 1 мин, работая вместе?
2) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Иван, работая один?
3) Какую часть всех приглашений мог бы подписать Петр, работая один?
4) За какое время подписал бы все приглашения Петр?
Решение
1) $\frac1{12}$ (приглашений) − подписывают мальчики за 1 мин, работая вместе;
2) $\frac1{20}$ (приглашений/мин) − мог бы подписать Иван, работая один;
3) $\frac1{12}-\frac1{20}=\frac{5-3}{60}=\frac2{60}=\frac1{30}$ (приглашений/мин) − мог бы подписать Петр, работая один;
4) $1:\frac1{30}=1\ast30=30$ (мин) − время, за которое подписал бы все приглашения Петр.
Ответ:
1) $\frac1{12}$ (приглашений/мин);
2) $\frac1{20}$ (приглашений/мин);
3) $\frac1{30}$ (приглашений/мин);
4) за 30 мин.
Задание 907
а) Заготовленных материалов хватит для работы двух цехов в течение 10 дней или одного первого цеха в течении 30 дней. На сколько дней хватило бы этих материалов для работы одного второго цеха?
б) Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?
Решение
а) Все материалы равны 1, тогда:
$\frac1{10}$ (материалов/день) − расход материалов двумя цехами;
$\frac1{30}$ (материалов/день) − расход материалов первым цехом.
1) $\frac1{10}-\frac1{30}=\frac{3-1}{30}=\frac2{30}=\frac1{15}$ (материалов/день) − расход материалов вторым цехом;
2) $1:\frac1{15}=1\ast15=15$ (дней) − запас материалов для работы одного второго цеха.
Ответ: 15 дней.
б) Вся работа равна 1, тогда:
$\frac16$ (работы/ч) − совместная производительность двух тракторов;
$\frac1{10}$ (работы/ч) − производительность первого тракториста.
1) $\frac16-\frac1{10}=\frac{5-3}{30}=\frac2{30}=\frac1{15}$ (работы/ч) − производительность второго тракториста;
2) $1:\frac1{15}=1\ast15=15$ (ч) − время, за которое второй тракторист может вспахать поле.
Ответ: за 15 часов.
Задание 908
Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая − за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?
Решение
Все задание равно 1, тогда:
$\frac19$ (задания/день) − производительность 1 бригады;
$\frac1{12}$ (задания/день) − производительность 2 бригады.
1) $\frac19\ast3=\frac13$ (задания) − выполнила 1 бригада за 3 дня;
2) $1-\frac13=\frac23$ (задания) − выполнила 2 бригада;
3) $\frac23:\frac1{12}=\frac23\ast12=2\ast4=8$ (дней) − выполняла задание 2 бригада;
4) 3 + 8 = 11 (дней) − время, за которое было выполнено задание.
Ответ: за 11 дней.
Задание 909
а) Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 30 ч, а легковая − за 20 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?
б) Расстояние от станции до турбазы велосипедист проезжает за 4 ч, а турист проходит за 12 ч. Они отправились из этих двух пунктов навстречу друг другу одновременно. Через сколько часов они встретятся?
Решение
а) Все расстояние равно 1, тогда:
$\frac1{30}$ (расстояния/ч) − скорость грузовой машины;
$\frac1{20}$ (расстояния/ч) − скорость легковой машины.
1) $\frac1{30}+\frac1{20}=\frac{2+3}{60}=\frac5{60}=\frac1{12}$ (расстояния/ч) − скорость сближения машин;
2) $1:\frac1{12}=1\ast12=12$ (ч) − время, через которое машины встретятся.
Ответ: через 12 часов.
б) Все расстояние равно 1, тогда:
$\frac14$ (расстояния/ч) − скорость велосипедиста;
$\frac1{12}$ (расстояния/ч) − скорость туриста.
1) $\frac14+\frac1{12}=\frac{3+1}{12}=\frac4{12}=\frac13$ (расстояния/ч) − скорость сближения велосипедиста и туриста;
2) $1:\frac13=1\ast3=3$ (ч) − время, через которое турист и велосипедист встретятся.
Ответ: через 3 часа.
Задание 910
а) Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в B. Через сколько часов после своего выхода из B второй пришел в A?
б) Из пункта A в пункт B выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта B в пункт A выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт B. Сколько времени потратила легковая машина на путь из B в A?
Решение
а) Весь путь равен 1, тогда:
1) 40 + 32 = 72 (мин) − шел из пункта A в B шел первый пешеход;
2) $1:72=\frac1{72}$ (пути/мин) − скорость первого пешехода;
3) $40\ast\frac1{72}=\frac{40}{72}=\frac59$ (пути) − прошел первый пешеход до встречи;
4) $1-\frac59=\frac49$ (пути) − прошел до встречи второй пешеход;
5) $\frac49:40=\frac49\ast\frac1{40}=\frac1{90}$ (пути/мин) − скорость второго пешехода;
6) $1:\frac1{90}=1\ast90=90$ (мин) = 1 ч 30 мин − время прохождения пути вторым пешеходом.
Ответ: через 1 ч 30 мин.
б) Весь путь равен 1, тогда:
1) 2 + 3 = 5 (ч) − время в пути грузового автомобиля;
2) $1:5=\frac15$ (пути/ч) − скорость грузового автомобиля;
3) $\frac15\ast3=\frac35$ (пути) − проехал грузовой автомобиль за 3 часа и это же расстояние проехала легковая машина за 2 часа;
4) $\frac35:2=\frac35\ast\frac12=\frac3{10}$ (пути/ч) − скорость легкового автомобиля;
5) $1:\frac3{10}=1\ast\frac{10}3=3\frac13$ (ч) − время в пути легковой машины.
Ответ: $3\frac13$ ч.
Задание 911
Лодка прошла некоторое расстояние по озеру за 4 ч. Такое же расстояние плот проплывает по реке за 12 ч. Сколько времени затратит лодка на такой же путь:
а) по течению реки;
б) против течения реки?
Решение
Все расстояние равно 1, тогда:
$\frac14$ (расстояния/ч) − собственная скорость лодки;
$\frac1{12}$ (расстояния/ч) − скорость течения реки.
а)
1) $\frac14+\frac1{12}=\frac{3+1}{12}=\frac4{12}=\frac13$ (расстояния/ч) − скорость лодки по течению;
2) $1:\frac13=1\ast3=3$ (ч) − затратит лодка на весь путь по течению.
б)
1) $\frac14-\frac1{12}=\frac{3-1}{12}=\frac2{12}=\frac16$ (расстояния/ч) − скорость лодки против течения;
2) $1:\frac16=1\ast6=6$ (ч) − затратит лодка на весь против течения.
Ответ: 3 ч; 6 ч.
Задание 912
Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки за 5 ч. Сколько времени потребуется плоту, чтобы проплыть такое же расстояние по реке?
Решение
Все расстояние равно 1, тогда:
1) $1:6=\frac16$ (расстояния/ч) − собственная скорость катера;
2) $1:5=\frac15$ (расстояния/ч) − скорость катера по течению;
3) $\frac15-\frac16=\frac{6-5}{30}=\frac1{30}$ (расстояния/ч) − скорость течения реки;
4) $1:\frac1{30}=1\ast30=30$ (ч) − потребуется плоту, чтобы проплыть расстояние по реке.
Ответ: 30 часов.
Задание 913
Плот от пункта A до пункта B плывет 40 ч, а катер − 4 ч. Сколько времени катер плывет от B до A?
Решение
Весь путь равен 1, тогда:
1) $1:40=\frac1{40}$ (пути/ч) − скорость течения реки;
2) $1:4=\frac14$ (пути/ч) − скорость катера по течению реки;
3) $\frac14-\frac1{40}=\frac{10-1}{40}=\frac9{40}$ (пути/ч) − собственная скорость катера;
4) $\frac9{40}-\frac1{40}=\frac8{40}=\frac15$ (пути/ч) − скорость катера против течения;
5) $1:\frac15=1\ast5=5$ (ч) − время, за которое катер плывет от B до A.
Ответ: 5 часов.
