Страница 235
Задание № 772
На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих.
а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Подсказка. Дайте каждому победителю номер от 1 до 6.
б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?
Решение:
а) Обозначим победителей олимпиады цифрами от 1 до 6
12, 13, 14, 15, 16 - 5
23, 24, 25, 26 - 4
34, 35, 36 - 3
45, 46 - 2
56 - 1
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Ответ: 15 вариантов выбора двух кандидатов
б) Обозначим победителя цифрой 1, он обязательно присутствует в любой паре ребят.
12, 13, 14, 15, 16 – 5 вариантов выбора участников областной олимпиады
Задание № 773
К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира.
а) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти?
б) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу?
в) Предположим, что лодочник отвёз двоих пассажиров и вернулся за оставшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придётся остаться ещё раз?
Решение:
а) Обозначим пассажиров цифрами от 1 до 5.
12, 13, 14, 15 - 4
23, 24, 25 - 3
34, 35 - 2
45 - 1
4 + 3 + 2 + 1 = 10
Ответ: 10 способов.
б) Обозначим больного пассажира цифрой 1.
12, 13, 14, 15 – 4
Ответ: 4 способа.
в) Обозначим оставшихся пассажиров цифрами 1, 2, 3
1, 2, 3 – 3
Ответ: 3 способа выбрать того, кому придётся остаться ещё раз.
Задание № 774
Два курьера фирмы должны забрать почту из четырёх филиалов, причём каждый успеет съездить только в два филиала из четырёх. Сколькими способами они могут распределить между собой поездки? Подсказка. Достаточно подсчитать число способов, которыми один курьер может выбрать два филиала из четырёх.
Решение:
Обозначим филиалы цифрами от 1 до 4.
12, 13, 14, 23, 24, 34 – 6
Ответ: 6 способов выбора курьером двух филиалов.
Задание № 775
а) Четыре друга собрались на футбольный матч. Но им удалось купить только три билета. Сколькими способами они могут выбрать тройку счастливцев? Как удобнее перебирать: тройки тех, кто пойдёт, или тех, кто не пойдёт?
б) Из шести кандидатов нужно составить команду для участия в гонках на четырёхместных байдарках. Сколько существует вариантов для выбора четвёрки участников соревнования и сколько для выбора пары запасных? Ответьте на оба вопроса, проведя только один перебор.
Решение:
а) Обозначим друзей цифрами от 1 до 4.
По тем, кто пойдет:
123, 124, 134, 234 – 4 способа выбора счастливцев.
По тем, кто не пойдет:
1, 2, 3, 4 - 4 способа.
Удобнее выбирать по тем, кто не пойдет.
б) Обозначим кандидатов цифрами от 1 до 6.
Вариантов для выбора четвёрки участников соревнования и для выбора пары запасных из шести человек будет одинаковое количество.
Варианты выбора запасных:
12, 13, 14, 15, 16 - 5
23, 24, 25, 26 - 4
34, 35, 36 - 3
45, 46 - 2
56 - 1
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Ответ: 15 вариантов выбора четверых участников соревнований и выбора двух запасных.
Задачи, похожие на задачу о театральных прожекторах
Задание № 776
Танцевальная студия объявила дополнительный набор девочек 10–12 лет. На просмотр пришли четыре девочки. Сколько вариантов отбора новеньких у руководителя студии?
Решение:
Обозначим девочек цифрами от 1 до 4.
Найдем с помощью перебора все возможные варианты:
никого не выбрать – 1 вариант,
взять 1 девочку: 1, 2, 3, 4 – 4 варианта,
взять 2 девочки: 12, 13, 14, 23, 24, 34 – 6 вариантов,
взять 3 девочки: 123, 124, 134, 234 – 4 варианта,
взять всех 4-х девочек: 1234 – 1 вариант,
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
Ответ: 16 вариантов.
Задание № 777
Сколькими способами можно разложить три разные по достоинству монеты в два кармана?
Решение:
Найдем с помощью перебора все возможные варианты:
1-й карман 2-й карман
пусто 50 к. 2 р. 10 р.
50 к. 2 р. 10 р.
2 р. 50 к. 10 р.
10 р. 50 к. 2 р.
50 к. 2 р. 10 р.
50 к. 10 р. 2 р.
2 р. 10 р. 50 к.
50 к. 2 р. 10 р. пусто
8 вариантов.
