Ответы к параграфу 7.5. Числовое значение рационального выражения

Задание 541

При каких числовых значениях букв алгебраическая дробь не определена?

Решение

Алгебраическая дробь не определена, когда при подстановке числового значения вместо переменной получается деление на нуль.

Задание 542

Заполните таблицу, вычислив числовые значения выражений при данных значениях x:

Решение

$\frac{x}{x - 1}$
при x = 0:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{0}{0 - 1} = 0$
при x = −2:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{-2}{-2 - 1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$
при x = 3:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2} = 1,5$
при $x = 10^2$:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{10^2}{10^2 - 1} = \frac{100}{99} = 1\frac{1}{99}$
при $x = 10^5$:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{10^5}{10^5 - 1} = \frac{100000}{9999} = 1\frac{1}{9999}$
при $x = -\frac{1}{2}$:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} : (-1\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} * \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
при x = 0,6:
$\frac{x}{x - 1} = \frac{0,6}{0,6 - 1} = \frac{0,6}{-0,4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

$\frac{x + 1}{2x - 3}$
при x = 0:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{10 + 1}{2 * 0 - 3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
при x = −2:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{-2 + 1}{2 * (-2) - 3} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$
при x = 3:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{3 + 1}{2 * 3 - 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
при $x = 10^2$:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{10^2 + 1}{2 * 10^2 - 3} = \frac{101}{197}$
при $x = 10^5$:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{10^5 + 1}{2 * 10^5 - 3} = \frac{10001}{199997}$
при $x = -\frac{1}{2}$:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{-\frac{1}{2} + 1}{2 * (-\frac{1}{2}) - 3} = \frac{\frac{1}{2}}{-1 - 3} = \frac{1}{2} : (-4) = \frac{1}{2} * (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{8}$
при x = 0,6:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{0,6 + 1}{2 * 0,6 - 3} = \frac{1,6}{1,2 - 3} = \frac{1,6}{-1,8} = -\frac{16}{18} = -\frac{8}{9}$

Задание 543

При каких числовых значениях a и b выражение $\frac{a}{b}$:
а) равно нулю;
б) не имеет смысла?

Решение

а) Выражение $\frac{a}{b}$ равно нулю при a = 0 и b ≠ 0.

б) Выражение $\frac{a}{b}$ не имеет смысла при b = 0.

Задание 544

При каких числовых значениях x значение алгебраической дроби равно нулю:
а) $\frac{x - 2}{5}$;
б) $\frac{x + 4}{x}$;
в) $\frac{2 - x}{x + 3}$;
г) $\frac{2x + 5}{3 - x}$;
д) $\frac{x^2 + x}{x + 1}$?

Решение

а) $\frac{x - 2}{5}$
x − 2 = 0
x = 2
при x = 2 значение дроби будет равно нулю

б) $\frac{x + 4}{x}$
x + 4 = 0
x = −4
при x = −4 значение дроби будет равно нулю

в) $\frac{2 - x}{x + 3}$
2 − x = 0
−x = −2
x = 2
при x = 2 значение дроби будет равно нулю

г) $\frac{2x + 5}{3 - x}$
2x + 5 = 0
2x = −5
x = −2,5
при x = −2,5 значение дроби будет равно нулю

д) $\frac{x^2 + x}{x + 1}$
$x^2 + x = 0$
x(x + 1) = 0
x = 0
или
x + 1 = 0
x = −1
при x = 0 и x = −1 значение дроби будет равно нулю

Задание 545

Запишите алгебраическую дробь, значение которой равно нулю при x, равном:
а) 3;
б) −2;
в) 0,5;
г) $\frac{1}{3}$.

Решение

а) $\frac{x - 3}{2}$
при x = 0:
$\frac{3 - 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$

б) $\frac{2 + x}{x + 5}$
при x = −2:
$\frac{2 + x}{x + 5} = \frac{2 - 2}{-2 + 5} = \frac{0}{3} = 0$

в) $\frac{\frac{x}{2} - 0,25}{8}$
при x = 0,5:
$\frac{\frac{x}{2} - 0,25}{8} = \frac{\frac{0,5}{2} - 0,25}{8} = \frac{0,25 - 0,25}{8} = \frac{0}{8} = 0$

г) $\frac{2 * \frac{1}{6} - x}{10}$
при $x = \frac{1}{3}$:
$\frac{2 * \frac{1}{6} - \frac{1}{3}}{10} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}{10} = \frac{0}{10} = 0$