Задание 538

Упростите рациональное выражение:
а) $\frac{a - 1}{2a} * (\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a^2 - 5}{a^2 - 1})$;
б) $(\frac{c + 3}{c - 3} - \frac{c}{c + 3}) * \frac{c - 3}{c + 1}$;
в) $(\frac{14 + a^2}{a^2 - 4} - \frac{a - 4}{a + 2}) * \frac{a - 2}{6}$;
г) $(\frac{a}{a - 4} - \frac{a - 4}{a + 4}) * \frac{a + 4}{4}$;
д) $(\frac{y + 1}{y - 1} - \frac{y - 1}{y + 1}) * \frac{y + 1}{4y}$;
е) $(\frac{1 + a}{1 - a} - \frac{1 - a}{1 + a}) : \frac{2a}{1 - a}$;
ж) $\frac{4y}{y - 1} * (\frac{y}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8y})$;
з) $(\frac{a}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a}) : \frac{a + 1}{12a}$.

Решение

а) $\frac{a - 1}{2a} * (\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a^2 - 5}{a^2 - 1}) = \frac{a - 1}{2a} + (\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a^2 - 5}{(a - 1)(a + 1)}) = \frac{a - 1}{2a} * \frac{(a + 3)(a - 1) - (a^2 - 5)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a - 1}{2a} * \frac{a^2 + 3a - a - 3 - a^2 + 5}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{2a + 2}{2a(a + 1)} = \frac{1}{a}$

б) $(\frac{c + 3}{c - 3} - \frac{c}{c + 3}) * \frac{c - 3}{c + 1} = \frac{(c + 3)(c + 3) - c(c - 3)}{(c - 3)(c + 3)} * \frac{c - 3}{c + 1} = \frac{c^2 + 3c + 3c + 9 - c^2 + 3c}{(c + 3)(c + 1)} = \frac{9c + 9}{(c + 3)(c + 1)} = \frac{9(c + 1)}{(c + 3)(c + 1)} = \frac{9}{c + 3}$

в) $(\frac{14 + a^2}{a^2 - 4} - \frac{a - 4}{a + 2}) * \frac{a - 2}{6} = (\frac{14 + a^2}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{a - 4}{a + 2}) * \frac{a - 2}{6} = \frac{14 + a^2 - (a - 4)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} * \frac{a - 2}{6} = \frac{14 + a^2 - a^2 + 4a + 2a - 8}{(a - 2)(a + 2)} * \frac{a - 2}{6} = \frac{6a + 6}{6(a + 2)} = \frac{6(a + 1)}{6(a + 2)} = \frac{a + 1}{a + 2}$

г) $(\frac{a}{a - 4} - \frac{a - 4}{a + 4}) * \frac{a + 4}{4} = (\frac{a(a + 4) - (a - 4)(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)}) * \frac{a + 4}{4} = \frac{a^2 + 4a - a^2 + 8a - 16}{4(a - 4)} = \frac{12a - 16}{4(a - 4)} = \frac{4(3a - 4)}{4(a - 4)} = \frac{3a - 4}{a - 4}$

д) $(\frac{y + 1}{y - 1} - \frac{y - 1}{y + 1}) * \frac{y + 1}{4y} = \frac{(y + 1)(y + 1) - (y - 1)(y - 1)}{(y - 1)(y + 1)} * \frac{y + 1}{4y} = \frac{y^2 + y + y + 1 - (y^2 - y - y + 1)}{4y(y - 1)} = \frac{y^2 + y + y + 1 - y^2 + y + y - 1}{4y(y - 1)} = \frac{4y}{4y(y - 1)} = \frac{1}{y - 1}$

е) $(\frac{1 + a}{1 - a} - \frac{1 - a}{1 + a}) : \frac{2a}{1 - a} = \frac{(1 + a)(1 + a) - (1 - a)(1 - a)}{(1 - a)(1 + a)} * \frac{1 - a}{2a} = \frac{1 + a + a + a^2 - (1 - a - a + a^2)}{1 + a} * \frac{1}{2a} = \frac{1 + a + a + a^2 - 1 + a + a - a^2}{1 + a} * \frac{1}{2a} = \frac{4a}{(1 + a)2a} = \frac{2}{1 + a}$

ж) $\frac{4y}{y - 1} * (\frac{y}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8y}) = \frac{4y}{y - 1} * \frac{y * y - 1 * 2y + 1}{8y} = \frac{4y}{y - 1} * \frac{y^2 - 2y + 1}{8y} = \frac{(y - 1)^2}{2(y - 1)} = \frac{y - 1}{2}$

з) $(\frac{a}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a}) : \frac{a + 1}{12a} = \frac{a * 3a + 1 * 8a + 1 * 4}{24a} * \frac{12a}{a + 1} = \frac{3a^2 + 8a + 4}{2(a + 1)}$

Задание 539

Упростите рациональное выражение:
а) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} * \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b)$;
б) $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a + b}$.

Решение

а) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} * \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b) = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)a}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} - a + b = a - a + b = b$

б) $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a + b} = \frac{ab}{a^2 - b^2} * \frac{a^2 - b^2}{a + b} + \frac{a^2}{a + b} = \frac{ab}{a + b} + \frac{a^2}{a + b} = \frac{ab + a^2}{a + b} = \frac{a(b + a)}{a + b} = a$

Задание 540

Какие из выражений не имеют смысла:
$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$;
$\frac{7 - \frac{x - a}{a^2 - 2a^2 + a^2}}{x^2 + a^2}$;
$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(x - 5)^2 - x^2 - 25 + 10x}$;
$\frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}}$?

Решение

$\frac{x - y}{x^2 - y^2} = \frac{x - y}{(x - y)(x + y)} = \frac{1}{x + y}$ − имеет смысл.

$\frac{7 - \frac{x - a}{a^2 - 2a^2 + a^2}}{x^2 + a^2} = \frac{7 - \frac{x - a}{0}}{x^2 + a^2}$ − не имеет смысла.

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(x - 5)^2 - x^2 - 25 + 10x} = \frac{(a - b)^2}{(x - 5)^2 - (x - 5)^2} = \frac{(a - b)^2}{0}$ − не имеет смысла.

$\frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}} = \frac{1}{\frac{a^2 - 1 - a^2 + 1}{a}} = \frac{1}{\frac{0}{a}} = \frac{1}{0}$ − не имеет смысла