Ответы к теме 5.7. Целые выражения
Задание 312
а) Что называют целым выражением? Приведите примеры.
б) Является ли целым выражением: число; одночлен; многочлен?
в) Любое ли целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида?
г) Может ли целое выражение равняться нулевому многочлену? Приведите примеры.
Решение
а) Целым называют алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения.
Например:
$(x + y)^2 - 2(5x - y)$;
$a(a + 2b) - 3(a + b)^2$.
б) Число не является целым выражением; одночлен не является целым выражением; многочлен является целым выражением.
в) Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
г) Целое выражение может равняться нулевому многочлену:
3(a − b) + 3b − 3a = 3a − 3b + 3b − 3a = 0
Задание 313
Какие из данных выражений являются целыми:
а) $7(2\frac{1}{2} - 5 * 24)$;
б) $7a^2bc$;
в) 3xy(2a + 3b);
г) $(x - 2)(3y + 4) - \frac{2abc}{mn}$;
д) $(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4)\frac{7}{12}a - 8b^4$;
е) 2x(3 − x) + 4 − 8x?
Решение
а) $7(2\frac{1}{2} - 5 * 24)$ − не является целым
б) $7a^2bc$ − является целым
в) 3xy(2a + 3b)− является целым
г) $(x - 2)(3y + 4) - \frac{2abc}{mn}$ − не является целым
д) $(\frac{7}{8}a^2 - \frac{3}{5}ab^4)\frac{7}{12}a - 8b^4$ − является целым
е) 2x(3 − x) + 4 − 8x − является целым
Задание 314
Упростите выражение:
а) 2(x − 1) + 3(2 − x);
б) $2ab(3 - 2a) + 4b(3a - 7a^2)$;
в) 7m(m − n) − 3n(n + m);
г) $(x - 2y) * 2xy - 28x^2y$;
д) x(x + 2y) − y(2x − 1);
е) x(x − 2y) − y(5 − 2x);
ж) $x^2(x + 2y) - y(2x^2 + 1)$;
з) $x(x^2 - y^2) + y(xy - y^2)$;
и) $(x - y)^2(x + 1) - (x - y)^2x$;
к) $(x + y)^2(x - 1) - (x - y)^2x$.
Решение
а) 2(x − 1) + 3(2 − x) = 2x − 2 + 6 − 3x = −x + 4
б) $2ab(3 - 2a) + 4b(3a - 7a^2) = 6ab - 4a^2b + 12ab - 28a^2b = -32a^2b + 18ab$
в) $7m(m - n) - 3n(n + m) = 7m^2 - 7mn - 3n^2 - 3mn = 7m^2 - 10mn - 3n^2$
г) $(x - 2y) * 2xy - 28x^2y = 2x^2y - 4xy^2 - 28x^2y = -26x^2y - 4xy^2$
д) $x(x + 2y) - y(2x - 1) = x^2 + 2xy - 2xy + y = x^2 + y$
е) $x(x - 2y) - y(5 - 2x) = x^2 - 2xy - 5y + 2xy = x^2 - 5y$
ж) $x^2(x + 2y) - y(2x^2 + 1) = x^3 + 2x^2y - 2x^2y - y = x^3 - y$
з) $x(x^2 - y^2) + y(xy - y^2) = x^3 - xy^2 + xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$
и) $(x - y)^2(x + 1) - (x - y)^2x = (x - y)^2(x + 1 - x) = (x - y)^2 * (-1) = -(x - y)(x - y) = -(x^2 - xy - xy + y^2) = -(x^2 - 2xy - y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$
к) $(x + y)^2(x - 1) - (x - y)^2x = (x + y)(x + y)(x - 1) - (x - y)(x - y)x = (x^2 + xy + xy + y^2)(x - 1) - (x^2 - xy - xy + y^2)x = (x^2 + 2xy + y^2)(x - 1) - (x^2 - 2xy + y^2)x = x^3 + 2x^2y + xy^2 - x^2 - 2xy - y^2 - x^3 + 2x^2y - xy^2 = 4x^2y - x^2 - 2xy - y^2$
