Ответы к теме 5.5. Произведение одночлена и многочлена
Задание 276
а) По какому правилу умножают одночлен на многочлен?
б) Какие многочлены называют противоположными?
в) Каким свойством обладают противоположные многочлены?
г) Каким свойством обладает разность многочленов?
д) Изменится ли многочлен, если его умножить на 1?
Решение
а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и результат записать в виде многочлена.
б) Данный многочлен и многочлен, полученный умножением его на число (−1), называют противоположными многочленами.
в) Сумма противоположных многочленов равна нулю.
г) Разность многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
д) Если многочлен умножить на 1, то он не изменится.
Задание 277
Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) 3 и (a + b);
б) x и (a − b);
в) (x + 1) и 5;
г) (a − b) и x.
Решение
а) 3(a + b) = 3a + 3b
б) x(a − b) = xa − xb
в) (x + 1) * 5 = 5x + 5
г) (a − b) * x = ax − bx
Задание 278
Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) (a + 3)7;
б) (x − y)10;
в) a(x − y);
г) a(a + b);
д) (a + b − c)2;
е) (a − b)(−6).
Решение
а) (a + 3)7 = 7a + 21
б) (x − y)10 = 10x − 10y
в) a(x − y) = ax − ay
г) $a(a + b) = a^2 + ab$
д) (a + b − c)2 = 2a + 2b − 2c
е) (a − b)(−6) = −6a + 6b
Задание 279
Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) (−2)(x + y);
б) $(7 + 3y - x^2y)(-2xy)$;
в) $3ab(a^2 - 2a + 1)$;
г) 2a(x + y);
д) $(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3)$;
е) $21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2)$;
ж) (−abc)(ab + ac + bc);
з) −ac(a + 2c).
Решение
а) (−2)(x + y) = −2x − 2y
б) $(7 + 3y - x^2y)(-2xy) = -14xy - 6xy^2 + 2x^3y^2$
в) $3ab(a^2 - 2a + 1) = 3a^3b - 6a^2b + 3ab$
г) 2a(x + y) = 2ax + 2ay
д) $(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3) = -12x^3y^3 - 24x^2y^4 - 12xy^5$
е) $21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2) = 21a^5b^5 - 84a^3b^7 - 21a^2b^7$
ж) $(-abc)(ab + ac + bc) = -a^2b^2c - a^2bc^2 - ab^2c^2$
з) $-ac(a + 2c) = -a^2c - 2ac^2$
Задание 280
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) 2(a + b) + 4(a + b);
б) 4(x − y) + 7(x − y);
в) 4 − 2(x + 1);
г) 2a − 3(b − a);
д) 2(a − b) − 3(a + b);
е) a(x − y) − b(x + y);
ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a)$;
з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4)$.
Решение
а) 2(a + b) + 4(a + b) = 2a + 2b + 4a + 4b = 6a + 6b
б) 4(x − y) + 7(x − y) = 4x − 4y + 7x − 7y = 11x − 11y
в) 4 − 2(x + 1) = 4 − 2x − 2 = −2x + 2
г) 2a − 3(b − a) = 2a − 3b + 3a = 5a − 3b
д) 2(a − b) − 3(a + b) = 2a − 2b − 3a − 3b = −a − 5b
е) a(x − y) − b(x + y) = ax − ay − bx − by
ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a) = 3a^2 - 3a^2 + 4ab - 2b + 8a = 4ab - 2b + 8a$
з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4) = 2a^2b + 4ab^2 - 3a^2b^2 + 12ab^2 = 2a^2b - 3a^2b^2 + 16ab^2$
Задание 281
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b);
б) a(b + c − bc) − b(c + a − ac) + c(b − a).
Решение
а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0
б) a(b + c − bc) − b(c + a − ac) + c(b − a) = ab + ac − abc − bc − ab + abc = 0
Задание 282
Пользуясь рисунком 11, докажите, что для a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 верно равенство:
а) a(b + c) = ab + ac (рис.11,а);
б) a(b + c + d) = ab + ac + ad (рис.11,б).
Решение
а) a(b + c) − площадь всего прямоугольника;
ab − площадь левого прямоугольника;
ac − площадь правого прямоугольника;
a(b + c) = ab + ac − площадь всего прямоугольника равна сумме площадей входящих в него прямоугольников.
б) a(b + c + d) − площадь всего прямоугольника;
ab − площадь левого прямоугольника;
ac − площадь среднего прямоугольника;
ad − площадь правого прямоугольника.
a(b + c + d) = ab + ac + ad − площадь всего прямоугольника равна сумме площадей входящих в него прямоугольников.
