Задание 17
Натуральное число n делится на натуральное число p(p > 1). Докажите, что число n + 1 не делится на p.
Доказательство
Чтобы сумма n + 1 делилась на p, нужно, чтобы каждое из слагаемых делилось на p, по условию n делится на p, а вот 1 на делится на p, так как по условию p > 1. Следовательно число n + 1 не делится на p.
Задание 18
Выписали первые 99 натуральных чисел: 1, 2, ..., 99. Запятые стерли и получили натуральное число.
а) Сколько раз в записи этого числа встречается цифра: 0, 1, 2, 3, ..., 9?
б) Делится ли это число на 9?
Решение
а) цифра 0 встречается 9 раз (10, 20, ..., 90);
цифра 1 встречается 20 раз (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91);
цифра 2 встречается 20 раз (2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92);
цифра 3 встречается 20 раз (3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93);
цифра 4 встречается 20 раз (4, 14, 24, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 54, 64, 74, 84, 94);
цифра 5 встречается 20 раз (5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95);
цифра 6 встречается 20 раз (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 76, 88, 96);
цифра 7 встречается 20 раз (7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87, 97);
цифра 8 встречается 20 раз (8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 98);
цифра 9 встречается 20 раз (9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99).
б) Найдем сумму цифр полученного числа:
(1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + ... + (49 + 51) + 50 = 100 * 50 + 50 = 5050
5 + 0 + 5 + 0 = 10 − не делится на 9, значит данное число не делится на 9.
Задание 19
Произведение первых n (n ≥ 2) натуральных чисел обозначают n! и читают "эн факториал":
n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n − 1) * n.
Например:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
На сколько нулей оканчивается:
а) 10!;
б) 50!;
в) 100!?
Решение
а) В образовании нулей участвуют числа, кратные 2 и 5. Четных чисел больше, так что их не считаем. А чисел, кратных 5 от 1 до 10 − два (5 и 10). Значит нулей в результате будет 2.
б) В образовании нулей участвуют числа, кратные 2 и 5. Четных чисел больше, так что их не считаем. А чисел, кратных 5 от 1 до 50 − десять (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50). И еще 2 числа, кратных 25 (25, 50), так как 25 = 5 * 5, нужно добавить дополнительное число.
Значит нулей в результате будет 10 + 2 = 12.
в) В образовании нулей участвуют числа, кратные 2 и 5. Четных чисел больше, так что их не считаем. А чисел, кратных 5 от 1 до 100 − двадцать (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100). И еще 4 числа, кратных 25 (25, 50, 75, 100), так как 25 = 5 * 5, нужно добавить дополнительное число.
Значит нулей в результате будет 20 + 4 = 24.
