Задание № 1091

а) Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и еще полгуся, а на втором − остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?
б) Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

Решение

а) 1) $8+\frac12=8\frac12$ (гуся) − составляют половину всех гусей;
2) $8\frac12\ast2=17$ (гусей) − было всего в стае.
Ответ: 17 гусей.

б) Половина гуся сесть не может, значит в полете всегда находилось нечетное количество гусей.
Все гуси, пролетающие над седьмым озером, сели на нём. Половина этих гусей - это ровно полгуся.
1/2 + 1/2 = 1 , значит на последнем озере сел 1 гусь.
К 6-му озеру подлетало $(1+\frac12)\ast2=1\frac12\ast2=3$ гуся и на нем село $1\frac12+\frac12=2$ гуся.
К 5-му озеру полетело $(3+\frac12)\ast2=3\frac12\ast2=7$ гусей, на нем село $3\frac12+\frac12=4$ гуся,
К 4-му озеру полетело $(7+\frac12)\ast2=7\frac12\ast2=15$ гусей, на нем село $7\frac12+\frac12=8$ гусей,
К 3-му озеру полетело $(15+\frac12)\ast2=15\frac12\ast2=31$ гусь, на нем село $15\frac12+\frac12=16$ гусей,
Ко 2-му озеру полетело $(31+\frac12)\ast2=31\frac12\ast2=63$ гуся, на нем село $31\frac12+\frac12=32$ гуся,
К 1-му озеру полетело $(63+\frac12)\ast2=63\frac12\ast2=127$ гусей, на нем село $63\frac12+\frac12=64$ гуся.
127 гусей было всего.
Проверяем по севшим на озера: 1+2+4+8+16+32+64=127
Ответ: было 127 гусей.

Задание № 1092

Первый рабочий выполнил 1/4 задания, второй − 1/3 остатка, третий − 1/2 остатка, а четвертый выполнил задание до конца. Какой из рабочих выполнил больший объем работы?

Решение

Все задание равно 1, тогда:
1) $1-\frac14=\frac34$ (задания) − осталось после первого рабочего;
2) $\frac34\ast\frac13=\frac14$ (задания) − выполнил второй рабочий;
3) $\frac34-\frac14=\frac24=\frac12$ (задания) − осталось после двух рабочих;
4) $\frac12\ast\frac12=\frac14$ (задания) − выполнил третий рабочий;
5) $\frac12-\frac14=\frac14$ (задания) − выполнил четвертый рабочий.
Ответ: каждый из рабочих выполнил 1/4 задания, то есть все рабочие выполнили одинаковый объем работы.

Задание № 1093

На первом экзамене в институт получили двойки 1/7 всех абитуриентов, на втором экзамене − 1/8 остальных абитуриентов, на третьем экзамене − 1/9 оставшихся абитуриентов. Какая часть всех абитуриентов сдала три экзамена без двоек?

Решение

Все абитуриенты составляют единицу, тогда:
1) $1-\frac17=\frac67$ (абитуриентов) − осталось после первого экзамена;
2) $\frac67\ast\frac18=\frac3{28}$ (абитуриентов) − от общего числа, получившая двойки на втором экзамене;
3) $\frac67-\frac3{28}=\frac{21}{28}=\frac34$ (абитуриентов) − осталось после двух экзаменов;
4) $\frac34\ast\frac19=\frac14\ast\frac13=\frac1{12}$ (абитуриентов) − от общего числа, получившая двойки на третьем экзамене;
5) $\frac34-\frac1{12}=\frac{9-1}{12}=\frac8{12}=\frac23$ (абитуриентов) − осталось после третьего экзамена.
Ответ: 2/3 абитуриентов сдали экзамены без двоек.