Задание № 1081
К табунщику пришли три казака покупать лошадей. "Хорошо, я вам продам лошадей, − сказал табунщик, − первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму − половину оставшихся лошадей и еще пол−лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей и еще пол−лошади. Себе же оставлю только 5 лошадей". Удивились казаки: как это табунщик будет делить лошадей пополам? Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?
Решение
1) $5+\frac12=5\frac12$ (л.) − половина остатка после второго казака;
2) $5\frac12\ast2=11$ (л.) − остаток после второго казака;
3) 11 − 5 = 6 (л.) − досталось третьему казаку;
4) $11+\frac12=11\frac12$ (л.) − половина остатка после первого казака;
5) $11\frac12\ast2=23$ (л.) − остаток после первого казака;
6) 23 − 11 = 12 (л.) − досталось второму казаку;
7) $23+\frac12=23\frac12$ (л.) − половина табуна;
8) $23\frac12\ast2=47$ (л.) − было у табунщика;
9) 47 − 23 = 24 (л.) − досталось первому казаку.
Ответ: 24, 12 и 6 лошадей.
Задание № 1082
У Саши на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму − 1/5 остатка, третьему − 1/4 того, что осталось, четвертому − 1/3 нового остатка. Последний кусок Саша разделили поровну с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?
Решение
Весь пирог равен 1, тогда:
1) $1\ast\frac16=\frac16$ (пирога) − получил первый друг;
2) $(1-\frac16)\ast\frac15=\frac56\ast\frac15=\frac16$ (пирога) − получил второй друг;
3) $(\frac56-\frac16)\ast\frac14=\frac46\ast\frac14=\frac16$ (пирога) − получил третий друг;
4) $(\frac46-\frac16)\ast\frac13=\frac36\ast\frac13=\frac16$ (пирога) − получил четвертый друг;
5) $(\frac36-\frac16)\ast\frac12=\frac26\ast\frac12=\frac16$ (пирога) − получил пятый друг и сам Саша.
Ответ: пирога всем досталось поровну.
Задание № 1083
а) В нашем классе есть певцы и танцоры: 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4 танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?
б) В делегации иностранных гостей 1/6 говорящих по−английски говорит и по−немецки, а 1/5 говорящих по−немецки говорит и по−английски. Кого больше: говорящих по−немецки или говорящих по−английски?
в) В делегации иностранных гостей 1/8 англичан знала немецкий язык, а 1/7 немцев знала английский. Кого в делегации больше: немцев или англичан? Можно ли ответить на вопрос задачи?
Решение
а)
Как видно из схемы, одна и та же группа учащихся класса составляет 1/5 от всех поющих и 1/4 от всех танцующих, следовательно, поющих в классе было больше.
Ответ: в классе больше певцов
б)
Как видно из схемы, одна и та же часть гостей составляет 1/6 от всех говорящих по−английски и 1/5 от всех говорящих по−немецки, следовательно, говорящих по−английски больше.
Ответ: больше говорящих по−английски
в) В этой задаче 1/8 англичан и 1/7 немцев − это не одна и та же группа людей. Поэтому ответить на вопрос нельзя, так как при разном количествах англичан и немцев ответ будет разным. Так, условию задачи удовлетворяют и 1) 8 англичан и 7 немцев, и 2) 8 англичан и 14 немцев, и 3) 16 англичан и 7 немцев.
Задание № 1084
Легковая машина может проехать расстояние между двумя городами за 3 1/3 ч, а грузовая − за 5 ч. Машины выехали из этих городов одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
Решение
1) $1:3\frac13=1:\frac{10}3=\frac3{10}$ (пути/ч) − скорость легковой машины;
2) $1:5=\frac15$ (пути/ч) − скорость грузовой машины;
3) $\frac3{10}+\frac15=\frac{3+2}{10}=\frac5{10}=\frac12$ (пути/ч) − скорость сближения;
4) $1:\frac12=2$ (часа) − время, через которое после начала движения встретятся автомобили.
Ответ: через 2 часа.
Задание № 1085
Задача Метродора. Корона весит 60 мин (греческая мера веса и денег) и состоит из сплава золота, меди, олова и железа. Золото и медь составляют 2/3, золото и олово − 3/4, золото и железо − 3/5 общего веса. Определите вес каждого металла в отдельности.
Решение
1) $60\ast\frac23=20\ast2=40$ (мин) − вес золота и меди;
2) $60\ast\frac34=15\ast3=45$ (мин) − вес золота и олова;
3) $60\ast\frac35=12\ast3=36$ (мин) − вес золота и железа;
4) 40 + 45 + 36 = 121 (мин) − все сплава и удвоенного веса золота;
5) $(121-60):2=30\frac12$ (мин) − вес золота;
6) $40-30\frac12=9\frac12$ (мин) − вес меди;
7) $45-30\frac12=14\frac12$ (мин) − вес олова;
8) $36-30\frac12=5\frac12$ (мин) − вес железа.
Ответ: корона состоит: $30\frac12$ (мин) − золота; $9\frac12$ (мин) − меди; $14\frac12$ (мин) − олова; $5\frac12$ (мин) − железа.
