Задание № 646
а) Что называют делителем натурального числа; простым делителем натурального числа?
б) Что значит разложить число на простые множители?
Решение
а) Если натуральное число a делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа a. Если делитель − простое число, его называют простым делителем.
б) Разложить данное составное число на простые множители − значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.
Задание № 647
Укажите все делители числа:
а) 2;
б) 6;
в) 12;
г) 16;
д) 18;
е) 20;
ж) 1;
з) 48;
и) 100;
к) 104;
л) 121;
м) 256.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}2&2\\1&\end{array}$
1; 2.
б)
$\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}$
1; 2; 3; 6 = 2 * 3.
в)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
1; 2; 3; 4 = 2 * 2; 6; 12.
г)
$\begin{array}{r|l}16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$1;2;2^2=4;2^3=8;16$
д)
$\begin{array}{r|l}18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
$1;2;3;6=2\ast3;3^2=9;18$
е)
$\begin{array}{r|l}20&2\\10&2\\5&5\\1&\end{array}$
$1;2;2^2=4;5;10=2\ast5;20$
ж) Ответ: 1.
з)
$\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
$1;2;3;2^2=4;6=2\ast3;2^3=8;12=2^2\ast3;2^4=16;24=2^3\ast3;48$
и)
$\begin{array}{r|l}100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$1,2,2^2=4,5,10=2\ast5;20=2^2\ast5;5^2=25;50=5^2\ast2;100$
к)
$\begin{array}{r|l}104&2\\52&2\\26&2\\13&13\\1&\end{array}$
$1,2,2^2=4;2^3=8;13;26=13\ast2;52=2^2\ast13;104$
л)
$\begin{array}{r|l}121&11\\11&11\\1&\end{array}$
1; 11; 121.
м)
$\begin{array}{r|l}256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$1;2;2^2=4;2^3=8;2^4=16;2^5=32;2^6=64;2^7=128;256$
Задание № 648
Запишите пять натуральных чисел, имеющих делителями числа:
а) 2;
б) 3;
в) 4;
г) 5;
д) 9;
е) 10;
ж) 2 и 3;
з) 3 и 4;
и) 2 и 5;
к) 4 и 9.
Решение
а) 2 = 1 * 2
4 = 2 * 2
6 = 3 * 2
8 = 4 * 2
10 = 5 * 2
Ответ: 2; 4; 6; 8; 10.
б) 3 = 1 * 3
6 = 2 * 3
9 = 3 * 3
12 = 4 * 3
15 = 5 * 3
Ответ: 3; 6; 9; 12; 15.
в) 4 = 1 * 4
8 = 2 * 4
12 = 3 * 4
16 = 4 * 4
20 = 5 * 4
Ответ: 4; 8; 12; 16; 20.
г) 5 = 1 * 5
10 = 2 * 5
15 = 3 * 5
20 = 4 * 5
25 = 5 * 5
Ответ: 5; 10; 15; 20; 25.
д) 9 = 1 * 9
18 = 2 * 9
27 = 3 * 9
36 = 4 * 9
45 = 5 * 9
Ответ: 9; 18; 27; 36; 45.
е) 10 = 1 * 10
20 = 2 * 10
30 = 3 * 10
10 = 4 * 10
50 = 5 * 10
Ответ: 10; 20; 30; 40; 50.
ж) 6 = 1 * (2 * 3) = 1 * 6
12 = 2 * (2 * 3) = 2 * 6
18 = 3 * (2 * 3) = 3 * 6
24 = 4 * (2 * 3) = 4 * 6
30 = 5 * (2 * 3) = 5 * 6
Ответ: 6; 12; 18; 24; 30.
з) 12 = 1 * (3 * 4) = 1 * 12
24 = 2 * (3 * 4) = 2 * 12
36 = 3 * (3 * 4) = 3 * 12
48 = 4 * (3 * 4) = 4 * 12
60 = 5 * (3 * 4) = 5 * 12
Ответ: 12; 24; 36; 48; 60.
и) 10 = 1 * (2 * 5) = 1 * 10
20 = 2 * (2 * 5) = 2 * 10
30 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10
10 = 4 * (2 * 5) = 4 * 10
50 = 5 * (2 * 5) = 5 * 10
Ответ: 10; 20; 30; 40; 50.
к) 36 = 1 * (4 * 9) = 1 * 36
72 = 2 * (4 * 9) = 2 * 36
108 = 3 * (4 * 9) = 3 * 36
144 = 4 * (4 * 9) = 4 * 36
180 = 5 * (4 * 9) = 5 * 36
Ответ: 36; 72; 108; 144; 180.
Задание № 649
Запишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме:
а) 2;
б) 3;
в) 5;
г) 2 и 3;
д) 2 и 5.
Решение
Задание № 650
Найдите все делители числа a:
а) a = 2 * 3 * 5;
б) a = 3 * 5 * 7;
в) a = 3 * 3 * 11;
г) a = 3 * 5 * 5 * 7.
Решение
а) Число a имеет простые делители: 2, 3 и 5.
Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
2 * 3 = 6;
2 * 5 = 10;
3 * 5 = 15;
2 * 3 * 5 = 30.
Кроме того, число a делится на 1.
Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
б) Число a имеет простые делители: 3, 5 и 7.
Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
3 * 5 = 15;
3 * 7 = 21;
5 * 7 = 35;
3 * 5 * 7 = 105.
Кроме того, число a делится на 1.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.
в) Число a имеет простые делители: 3, 3 и 11.
Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
3 * 3 = 9;
3 * 11 = 33;
3 * 3 * 11 = 99.
Кроме того, число a делится на 1.
Ответ: 1, 3, 9, 11, 33, 99.
г) Число a имеет простые делители: 3, 5, 5 и 7.
Другие делители найдем, составляя различные произведения из этих простых делителей:
3 * 3 = 15;
3 * 7 = 21;
5 * 5 = 25;
5 * 7 = 35;
3 * 5 * 5 = 75;
3 * 5 * 7 = 105;
5 * 5 * 7 = 175;
3 * 5 * 5 * 7 = 525.
Кроме того, число a делится на 1.
Ответ: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.
Задание № 651
Разложите на простые множители число:
а) 16;
б) 18;
в) 26;
г) 35;
д) 48;
е) 70;
ж) 144;
з) 210;
и) 800;
к) 216;
л) 343;
м) 1024.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$16=2^4$
б)
$\begin{array}{r|l}18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
$18=2\ast3^2$
в)
$\begin{array}{r|l}26&2\\13&13\\1&\end{array}$
26 = 2 * 13
г)
$\begin{array}{r|l}35&5\\7&7\\1&\end{array}$
35 = 5 * 7
д)
$\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
$48=2^4\ast3$
е)
$\begin{array}{r|l}70&2\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$
$70 = 2 * 5 * 7$
ж)
$\begin{array}{r|l}144&2\\72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
$144=2^4\ast3^2$
з)
$\begin{array}{r|l}210&2\\105&3\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$
210 = 2 * 3 * 5 * 7
и)
$\begin{array}{r|l}800&2\\400&2\\200&2\\100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$800=2^5\ast5^2$
к)
$\begin{array}{r|l}216&2\\108&2\\54&2\\27&3\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
$216=2^3\ast3^3$
л)
$\begin{array}{r|l}343&7\\49&7\\7&7\\1&\end{array}$
$343=7^3$
м)
$\begin{array}{r|l}1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$1024=2^{10}$
Задание № 652
Представьте данное произведение в виде произведения возможно большего числа множителей, отличных от 1:
а) 20 * 24;
б) 12 * 25;
в) 164 * 10;
г) 8 * 125;
д) 125 * 64;
е) 112 * 147;
ж) 1001 * 37;
з) 47 * 201.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}20&2\\10&2\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
$20\ast24=2^5\ast5\ast3=480$
б)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$12\ast25=2^2\ast5^2\ast3=300$
в)
$\begin{array}{r|l}164&2\\82&2\\41&41\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}10&2\\5&5\\1&\end{array}$
$164\ast10=2^3\ast5\ast41=1640$
г)
$\begin{array}{r|l}8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}125&5\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
$8\ast125=2^3\ast5^3=1000$
д)
$\begin{array}{r|l}125&5\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
$125\ast64=5^3\ast2^6=8000$
е)
$\begin{array}{r|l}112&2\\56&2\\28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}147&3\\49&7\\7&7\\1&\end{array}$
$112\ast147=2^4\ast3\ast7^3=16464$
ж)
$\begin{array}{r|l}1001&7\\143&11\\13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}37&37\\1&\end{array}$
1001 * 37 = 7 * 11 * 13 * 37 = 37037
з)
$\begin{array}{r|l}47&47\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}201&3\\67&67\\1&\end{array}$
47 * 201 = 3 * 47 * 67 = 9447
Задание № 653
Запишите в порядке возрастания все делители числа:
а) 12;
б) 15;
в) 18;
г) 24.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
Делители числа 12:
$1,2,3,4(=2^2),6(=2\ast3),12(=2^2\ast3).$
б)
$\begin{array}{r|l}15&3\\5&5\\1&\end{array}$
Делители числа 15:
1, 3, 5, 15(= 3 * 5).
в)
$\begin{array}{r|l}18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
Делители числа 18:
$1,2,3,6(=2\ast3),9(=3^2),18(=2\ast3^2).$
г)
$\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
Делители числа 24:
$1,2,3,4(=2\ast2),6(=2\ast3),8(=2^3),12(=2^2\ast3),24(=2^3\ast3).$
Задание № 654
Выполняя предыдущее задание, можно заметить, что делители числа 18 обладают интересным свойством:
Это наблюдение позволяет сократить перебор чисел при поиске всех делителей числа 18. Сначала перебираем все делители числа 18 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 18: 1, 2, 3, 6. После того как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
18 : 2 = 9,
18 : 1 = 18.
Используя этот прием, найдите все делители числа:
а) 32;
б) 48;
в) 56;
г) 36;
д) 98.
Решение
а)
$\begin{array}{r|l}32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$
Перебираем все делители числа 32 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 32:
1, 2, 4, 8.
После того, как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
32 : 2 = 16,
32 : 1 = 32.
Делители числа 32:
1, 2, 4, 8, 16, 32.
б)
$\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&3\\3&3\\1&\end{array}$
Перебираем все делители числа 48 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 48:
1, 2, 3, 4, 6, 8.
После того, как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
48 : 4 = 12,
48 : 3 = 16,
48 : 2 = 24,
48 : 1 = 48.
Делители числа 48:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
в)
$\begin{array}{r|l}56&2\\28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}$
Перебираем все делители числа 56 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 56:
1, 2, 4, 7, 8.
После того, как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
56 : 4 = 14,
56 : 2 = 28,
56 : 1 = 56.
Делители числа 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
г)
$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
Перебираем все делители числа 36 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 36:
1, 2, 3, 4, 6.
После того, как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
36 : 4 = 9,
36 : 3 = 12,
36 : 2 = 18,
36 : 1 = 36.
Делители числа 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
д)
$\begin{array}{r|l}98&2\\49&7\\7&7\\1&\end{array}$
Перебираем все делители числа 98 до тех пор, пока произведение двух соседних делителей не даст 98:
1, 2, 7, 14.
После того, как найдена "середина" в ряду делителей, остальные делители найдем делением:
98 : 2 = 49,
98 : 1 = 98.
Делители числа 98:
1, 2, 7, 14, 49, 98.
