Задание № 640
Докажите, что, кроме числа 2, не существует других четных простых чисел.
Решение
Четное число − это число, которое делится на 2. То есть число 2 делится на 1 и на само себя, а любое другое число будет как минимум делится на 1, на само себя, а также на 2. Поэтому любое четное число не равное 2 − составное.
Задание № 641
Можно ли простое число записать в виде суммы:
а) двух четных чисел;
б) двух нечетных чисел;
в) четного и нечетного чисел?
Решение
а) Простое число нельзя записать в виде суммы двух четных чисел, так как эта сумма четная и больше 2 и поэтому не равная простому числу.
б) Только одно простое число можно записать в виде суммы двух нечетных чисел:
2 = 1 + 1.
Сумма любых других нечетных чисел четная и больше 2 и поэтому не равна простому числу.
в) Любое простое число, большее 2, − это нечетное число, его можно представить в виде суммы четного и нечетного чисел. Например;
5 = 4 + 1;
37 = 34 + 3, а простое число 2 нельзя записать в виде суммы четного и нечетного чисел.
Задание № 642
а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
б) Верно ли, что сумма любых двух простых чисел является простым числом?
Решение
а) Да, может. Например:
2 + 3 = 5 − все числа простые.
б) Нет не верно. Например:
3 + 5 = 8 − число 8 составное.
Задание № 643
Некто пообещал дать 99 конфет тому, кто сумеет их разделить между четырьмя людьми так, чтобы каждому досталось нечетное число конфет. Почему этот приз до сих пор никому не удалось получить?
Решение
4 − четное число, а 99 − нечетное число, каждому должно достаться нечетное число конфет. Известно, что сумма четного числа нечетных слагаемых четная, а 99 − нечетное число. Поэтому разделить конфеты заданным способом невозможно, и приз до сих пор никому не удалось получить.
Задание № 644
В следующих записях замените буквы цифрами так, чтобы полученные числа делились на 3:
а) 35a25;
б) 4ab40;
в) 5a2b5;
г) 72ab8.
Какие из полученных чисел
делятся на 5;
делятся на 2;
делятся на 10;
делятся на 4?
Решение
а) 3 + 5 + a + 2 + 5 = 3n
a = 3n − 3 − 5 − 2 − 5
a = 3n − 15
a = 3(n − 15)
Пусть n = 16, тогда:
a = 3(16 − 15)
a = 3 * 1
a = 3
Ответ: 35325
б) 4 + a + b + 4 + 0 = 3n
a + b = 3n − 4 − 4
a + b = 3n − 8
Пусть b = 1, тогда:
a + 1 = 3n − 8
a = 3n − 9
a = 3(n − 3)
Пусть n = 4, тогда:
a = 3(4 − 3)
a = 3 * 1
a = 3
Ответ: 43140
в) 5 + a + 2 + b + 5 = 3n
a + b = 3n − 5 − 2 − 5
a + b = 3n − 12
a + b = 3(n − 4)
Пусть b = 0, тогда:
a = 3(n − 4)
Пусть n = 5, тогда:
a = 3(5 − 4)
a = 3 * 1
a = 3
Ответ: 53205
г) 7 + 2 + a + b + 8 = 3n
a + b = 3n − 7 − 2 − 8
a + b = 3n − 17
Пусть b = 1, тогда:
a + 1 = 3n − 17
a = 3n − 18
a = 3(n − 6)
Пусть n = 7, тогда:
a = 3(7 − 6)
a = 3 * 1
a = 3
Ответ: 72318
делятся на 5:
35325; 43140; 53205.
делятся на 2:
43140; 72318.
делятся на 10:
43140.
делятся на 4:
43140.
Задание № 645
а) Напишите четырехзначное число, которое делится на 9. Может ли оно не делится на 3?
б) Напишите четырехзначное число, которое делится на 3, но не делится на 9.
Решение
а) 3330 − делится на 9.
Любое число обязательно делится на 3, если оно делится на 9, так как 9 делится на 3.
б) 3333 − делится на 3, но не делится на 9, так как:
3 + 3 + 3 + 3 = 12 − не делится на 9.
