Задание №1081

Группа из 46 туристов отправились в поход на 10 лодках, часть из которых была четырехместными, а остальные − шестиместными. Сколько было лодок каждого вида?

Решение:

Пусть было x четырехместных лодок, а y − шестиместных, тогда:
x + y = 10 лодок было всего;
4x туристов плыли на четырехместных лодках;
6y туристов плыли на шестиместных лодках;
4x + 6y = 46 туристов отправились в поход всего.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 10
  4 x + 6 y = 46

x + y = 10
x = 10 − y
4(10 − y) + 6y = 46
40 − 4y + 6y = 46
40 + 2y = 46
2y = 46 − 40
2y = 6
y = 6 : 2
y = 3 шестиместных лодок было;
x = 10 − 3 = 7 четырехместных лодок было.
Ответ: 7 четырехместных лодок  и 3 шестиместных.

Задание №1082

Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров − 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы.

Решение:

Пусть x кг сена в день дневная норма для лошади, а y кг сена в день дневная норма для коровы, тогда:
4x кг сена в день съедают 4 лошади;
12y кг сена в день съедают 12 коров;
4x + 12y = 120 кг сена в день съедают 4 лошади и 12 коров.
3x кг сена в день съедают 3 лошади;
20y кг сена в день съедают 20 коров;
3x + 20y = 167 кг сена в день съедают 3 лошади и 20 коров.
Составим систему уравнений:

{
4 x + 12 y = 120 | ∗ 3
  3 x + 20 y = 167 | ∗ − 4

{ 12x + 36y = 360 
  -12x - 80y = -668 

12x + 36y − 12x − 80y = 360 − 668
−44y = −308
y = −308 : −44
y = 7 кг сена в день дневная норма для коровы;
4x + 12 * 7 = 120
4x + 84 = 120
4x = 120 − 84
4x = 36
x = 36 : 4
x = 9 кг сена в день дневная норма для лошади.
Ответ: 9 кг сена и 7 кг.

Задание №1083

В первый день 2 гусеничных трактора и один колесный вспахали 22 га, а во второй день 3 гусеничных и 8 колесных − 72 га. Найдите, сколько гектаров земли обрабатывал ежедневно один гусеничный трактор и сколько − один колесный.

Решение:

Пусть x га в день ежедневно обрабатывает один гусеничный трактор, а y га в день один колесный трактор, тогда:
2x га в день ежедневно обрабатывают 2 гусеничных трактора;
2x + y = 22 га в день ежедневно обрабатывают 2 гусеничных и 1 колесный трактора.
3x га в день ежедневно обрабатывают 3 гусеничных трактора;
8y га в день ежедневно обрабатывают 8 колесных тракторов;
3x + 8y = 72 га в день ежедневно обрабатывают 3 гусеничных и 8 колесных тракторов.
Составим систему уравнений:

{ 2 x + y = 22 | ∗ ( − 8 )
  3 x + 8 y = 72

{ − 16 x − 8 y = − 176
  3 x + 8 y = 72

−16x − 8y + 3x + 8y = −176 + 72
−13x = −104
x = −104 : −13
x = 8 га в день ежедневно обрабатывает один гусеничный трактор;
2 * 8 + y = 22
y = 22 − 16 = 6 га в день ежедневно обрабатывает один колесный трактор.
Ответ: 8 га и 6 га в день.

Задание №1084

Двое рабочих изготовили 135 деталей. Первый рабочий работал 7 дней, а второй − 12 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня?

Решение:

Пусть x деталей в день изготавливал первый рабочий, а y деталей в день изготавливал второй рабочий, тогда:
7x деталей изготовил первый рабочий за 7 дней;
12y деталей изготовил второй рабочий за 12 дней;
7x + 12y = 135 деталей всего изготовили оба рабочих.
3x деталей изготовил первый рабочий за 3 дня;
4y деталей изготовил второй рабочий за 4 дня;
3x − 4y = 3 первый рабочий за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня.
Составим систему уравнений:

{ 7 x + 12 y = 135
  3 x − 4 y = 3 | ∗ 3

{ 7 x + 12 y = 135
  9 x − 12 y = 9

7x + 12y + 9x − 12y = 135 + 9
16x = 144
x = 144 : 16
x = 9 деталей в день изготавливал первый рабочий;
3 * 9 − 4y = 3
27 − 4y = 3
−4y = 3 − 27
y = −24 : (−4)
y = 6 деталей в день изготавливал второй рабочий.
Ответ: 9 деталей и 6 деталей.

Задание №1085

Две бригады работали на сборе яблок. В первый день одна бригада работала 5 ч, а другая − 4 ч, причем вместе они собрали 40 ц яблок. На следующий день бригады работали с той же производительностью труда, причем первая бригада собрала за 3 ч на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько центнеров яблок собирала каждая бригада за 1 ч?

Решение:

Пусть x центнеров в час собирала первая бригада, а y центнеров в час собирала вторая бригада, тогда:
5x центнеров собрала первая бригада в первый день;
4y центнеров собрала вторая бригада в первый день;
5x + 4y = 40 центнеров собрали обе бригады в первый день.
3x центнеров собрала первая бригада во второй день;
2y центнеров собрала вторая бригада во второй день;
3x − 2y = 2 первая бригада собрала за 3 ч на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч.
Составим систему уравнений:

{ 5 x + 4 y = 40
  3 x − 2 y = 2 | ∗ 2

{ 5 x + 4 y = 40
  6 x − 4 y = 4

5x + 4y + 6x − 4y = 40 + 4
11x = 44
x = 44 : 11
x = 4 центнеров в час собирала первая бригада;
3 * 4 − 2y = 2
−2y = 2 − 12
y = −10 : −2
y = 5 центнеров в час собирала вторая бригада.
Ответ: 4 и 5 центнеров.

Задание №1086

За 6 кг конфет и 5 кг печенья заплатили 1440 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько 1 кг печенья, если 3 кг конфет дороже 1 кг печенья на 300 р.?

Решение:

Пусть x р. стоит 1 кг конфет, а y р. стоит 1 кг печенья, тогда:
6x рублей стоит 6 кг конфет;
5y рублей стоит 5 кг печенья;
6x + 5y = 1440 рублей заплатили всего.
3x рублей стоит 3 кг конфет;
3x − y = 300 р. 3 кг конфет дороже 1 кг печенья на 300 р.
Составим систему уравнений:

{ 6 x + 5 y = 1440
  3 x − y = 300 | ∗ ( − 2 )

{ 6 x + 5 y = 1440
  − 6 x + 2 y = − 600

6x + 5y − 6x + 2y = 1440 − 600
7y = 840
y = 840 : 7
y = 120 р. стоит 1 кг печенья;
3x − 120 = 300
3x = 300 + 120
x = 420 : 3
x = 140 р. стоит 1 кг конфет.
Ответ: 140 рублей и 120 рублей.

Задание №1087

За 11 тетрадей и 8 ручек заплатили 309 р. Сколько стоит 1 тетрадь и сколько 1 ручка, если 5 тетрадей дороже, чем 4 ручки, на 3 р.?

Решение:

Пусть x р. стоит 1 тетрадь, а y р. стоит 1 ручка, тогда:
11x рублей стоят тетради;
8y рублей стоят ручки;
11x + 8y = 309 рублей стоят вместе тетради и ручки.
5x рублей стоят 5 тетрадей;
4y рублей стоят 4 ручки;
5x − 4y = 3 р. разница в стоимости 5 тетрадей и 4 ручек.
Составим систему уравнений:

{ 11 x + 8 y = 309
  5 x − 4 y = 3 | ∗ 2

{ 11 x + 8 y = 309
  10 x − 8 y = 6

11x + 8y + 10x − 8y = 309 + 6
21x = 369
x = 315 : 21
x = 15 р. стоит 1 тетрадь;
5 * 15 − 4y = 3
−4y = 3 − 75
y = −72 : (−4)
y = 18 р. стоит 1 ручка.
Ответ: 15 рублей и 18 рублей.

Задание №1088

Из Брянска и Смоленска, расстояние между которыми 256 км, выехали одновременно навстречу друг другу автобус и автомобиль и встретились через 2 часа после начала движения. Найдите скорость каждого из них, если автобус за 2 ч проезжает на 46 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Решение:

Пусть x км/ч скорость автомобиля, а y км/ч скорость автобуса, тогда:
2x км проехал автомобиль до встречи;
2y км проехал автобус до встречи;
2x + 2y = 256 км общее расстояние которое преодолели автомобиль и автобус за 2 часа.
2y − x = 46 км разность расстояния, которое проезжает автобус за 2 часа и автомобиль за 1 час.
Составим систему уравнений:

{ 2 x + 2 y = 256
  2 y − x = 46 | ∗ ( − 1 )

{ 2 x + 2 y = 256
  − 2 y + x = − 46

2x + 2y − 2y + x = 256 − 46
3x = 210
x = 210 : 3
x = 70 км/ч скорость автомобиля;
2y − 70 = 46
2y = 46 + 70
y = 116 : 2
y = 58 км/ч скорость автобуса.
Ответ: 58 км/ч и 70 км/ч.

Задание №1089

С двух станций, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу отправились пассажирский и товарный поезда, которые встретились через 3 ч после начала движения. Если бы пассажирский поезд вышел на 1 ч раньше, чем товарный, то они встретились бы через 2,4 ч после выхода товарного поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Решение:

Пусть x км/ч скорость пассажирского поезда, а y км/ч скорость товарного поезда, тогда:
3x км проехал до встречи пассажирский поезд;
3y км проехал до встречи товарный поезд;
3x + 3y = 300 км проехали вместе поезда до встречи.
3,4x км проехал за 3,4 ч пассажирский поезд;
2,4y км проехал за 2,4 ч товарный поезд;
3,4x + 2,4y = 300 проехали вместе поезда до встречи.
Составим систему уравнений:

{ 3 x + 3 y = 300 | : 3
  3, 4 x + 2, 4 y = 300

{ x + y = 100 | ∗ ( − 2, 4 )
  3, 4 x + 2, 4 y = 300

{ − 2, 4 x − 2, 4 y = − 240
  3, 4 x + 2, 4 y = 300

−2,4x − 2,4y + 3,4x + 2,4y = −240 + 300
x = 60 км/ч скорость пассажирского поезда;
60 + y = 100
y = 100 − 60 = 40 км/ч скорость товарного поезда.
Ответ: 40 км/ч и 60 км/ч.

Задание №1090

Из села на станцию вышел пешеход. Через 30 мин из этого села на станцию выехал велосипедист и догнал пешехода через 10 мин после выезда. Найдите скорость каждого из них, если за 3 ч пешеход проходит на 4 км больше, чем велосипедист проезжает за полчаса.

Решение:

Пусть x км/ч скорость пешехода, а y км/ч скорость велосипедиста, тогда:
30 мин = 30/60 = 1/2 ч;
10 мин = 10/60 = 1/6 ч;
`1/2 x` км прошел за 30 минут пешеход;
`1/6 x` км прошел за 10 минут пешеход;
`1/2 x + 1/6 x` км прошел пешеход до того момента, как его догнал велосипедист;
`1/6 y` км проехал велосипедист пока догонял пешехода, а так как на момент встречи пешехода и велосипедиста они преодолели одинаковое расстояние, то:
`1/2 x + 1/6 x = 1/6 y`.
3x км проходит пешеход за 3 ч;
`1/2 y` км проезжает велосипедист за полчаса;
`3 x − 1/2 y = 4` км разность между расстоянием которое проходит пешеход за три часа и проезжает велосипедист за полчаса.
Составим систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}\frac12x+\frac16x=\frac16y\vert\ast6\\3x-\frac12y=4\vert\ast2\end{array}\right.$

{ 3 x + x = y
  6 x − y = 8

{ 4 x = y
  6 x − y = 8

6x − 4x = 8
2x = 8
x = 8 : 2
x = 4 км/ч скорость пешехода;
y = 4 * 4 = 16 км/ч скорость велосипедиста.
Ответ: 16 км/ч и 4 км/ч.

Задание №1091

Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Решение:

Пусть x км/ч скорость первого автомобиля, а y км/ч скорость второго автомобиля, тогда:
2,5 + 2 = 4,5 ч ехал до встречи первый автомобиль;
4,5x км проехал до встречи первый автомобиль;
2y км проехал до встречи второй автомобиль;
4,5x + 2y = 536 км проехали до встречи вместе первый и второй автомобиль.
3y км проезжает второй автомобиль за 3 ч;
2x км проезжает первый автомобиль за 2 ч;
3y − 2x = 69 км разность расстояния которое проезжает второй автомобиль за 3 ч и первый автомобиль за 2 ч.
Составим систему уравнений:

{ 4, 5 x + 2 y = 536 | ∗ ( − 3 )
   3 y − 2 x = 69 | ∗ 2

{ − 13, 5 x − 6 y = 1608
  6 y − 4 x = 138

−13,5x − 6y + 6y − 4x = −1608 + 138
−17,5x = 1646
x = −1470 : (−17,5)
x = 84 км/ч скорость первого автомобиля;
3y − 2 * 84 = 69
3y = 69 + 168
y = 237 : 3
y = 79 км/ч скорость второго автомобиля.
Ответ: 79 км/ч и 84 км/ч.