Задание №943

В емкость, содержащую 150 мл восьмипроцентного раствора кислоты, добавили 90 мл воды. Чему равна концентрация кислоты в полученном растворе?

Решение:

150 * 8% = 150 * 0,08 = 12 (мл) - кислоты содержится в 150 мл раствора;
150 + 90 = 240 (мл) - общий объем нового раствора;
12 мл - х %
240 мл - 100 %
12/240 ∗ 100 = 5 (%) - концентрация кислоты в полученном растворе.
Ответ: 5 %.

Задание №944

В мешке 7 красных, 10 зеленых и 12 желтых яблок. Какое наименьшее количество яблок надо вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 1, среди вынутых яблок хотя бы одно было зеленым?

Решение:

7 + 12 = 19 яблок не зеленых было в мешке, следовательно необходимо не глядя вынуть из мешка как минимум 20 яблок, что бы с с вероятностью, равной 1, среди вынутых яблок хотя бы одно было зеленым.

Задание №945

Найдите корень уравнения:
1) 4 x + 1/52 x − 3/3 = x − 4;
2) 3 x − 5/45 x − 2/3 = x + 9.

Решение:

1) $\frac{4x+1}5-\frac{2x-3}3=x-4$
$\frac{3(4x+1)-5(2x-3)}{15}=x-4$
3(4x + 1) − 5(2x − 3) = 15(x − 4)
12x + 3 − 10x + 15 = 15x − 60
12x − 10x − 15x = −60 − 3 − 15
−13x = −78
x = −78 : −13
x = 6

2) $\frac{3x-5}4-\frac{5x-2}3=x+9$
$\frac{3(3x-5)-4(5x-2)}{12}=x+9$
3(3x − 5) − 4(5x − 2) = 12(x + 9)
9x − 15 − 20x + 8 = 12x + 108
9x − 20x − 12x = 108 + 15 − 8
−23x = 115
x = 115 : −23
x = −5

Задание №946

Из города A в город B одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Легковой автомобиль прибыл в город B через 3,5 ч после выезда, а грузовому осталось еще проехать 77 км. Найдите расстояние между городами, если скорость грузового автомобиля в 1,4 раза меньше скорости легкового.

Решение:

Пусть x км/ч скорость грузового автомобиля, тогда 1,4x км/ч скорость легкового автомобиля;
3,5 * 1,4x = 4,9x км расстояние между городами которые проехал за 3,5 ч легковой автомобиль;
3,5x + 77 км расстояние между городами которые должен проехать за 3,5 ч грузовой автомобиль, 
а расстояния, которые должны проехать автомобили равны.
Составим уравнение
4,9x = 3,5x + 77
4,9x − 3,5x = 77
1,4x = 77
x = 77 : 1,4
x = 55 км/ч скорость грузового автомобиля, следовательно:
3,5x + 77 км = 3,5 * 55 + 77 = 192,5 + 77 = 269,5 км - расстояние между городами.
Ответ: 269,5 км.

Задание №947

Можно ли утверждать, что при любом натуральном четном значении n значение выражения

( 5 n + 10 )2 − ( 2 n + 4 )2 делится нацело на 84?

Решение:

( 5 n + 10 )2 − ( 2 n + 4 )2 = ( 25 n2 + 100 n + 100 ) − ( 4 n2 + 16 n + 16 ) = 25 n2 + 100 n + 100 − 4 n2 − 16 n − 16 = ( 25 n2 − 4 n2 ) + ( 100 n − 16 n ) + ( 100 − 16 ) = 21 n2 + 84 n + 84 = 21 ( n2 + 4 n + 4 ) = 21 ( n + 2 )2, так как по условию n − четное число, то (n + 2)2 делится нацело на 4, следовательно 21 ( n + 2 )2 делится нацело на 84.

Задание №948

Известно, что при некоторых значениях m, n и k значение выражения

3 m2 n равно 2, а значение выражения n2 k4 равно 3. Найдите при тех же самых значениях m, n и k значение выражения:
1) ( 3 m2 n2 k2 )2;
2) ( − 2 m2 n k2 )3 ∗ ( 0, 5 n2 k )2.

Решение:

1) ( 3 m2 n2 k2 )2 = ( 3 m2 n ∗ n k2 )2 = ( 3 m2 n )2 ∗ ( n k2 )2 = ( 3 m2 n )2 ∗ n2 k4 = 22 ∗ 3 = 4 ∗ 3 = 12

2) $(-2m^2nk^2)^3\ast(0,5n^2k)^2=(-2)^3(m^2nk^2)^3\ast(\frac12n^2k)^2=-8\ast(m^2n)^3\ast k^6\ast\frac14n^4k^2=-2(\frac23)^3\ast(n^4k^8)=-2\ast\frac8{27}\ast(n^2k^4)^2=-\frac{16}{27}\ast3^2=-\frac{16}{27}\ast9=-\frac{16}3=-5\frac13$

Задание №949

Сравните значения выражений ( 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ 999 ∗ 1000 )2 и 10001000.

Решение:

Представим выражение в следующем виде:
( ( 1 ∗ 1000 ) ∗ ( 2 ∗ 999 ) ∗ . . . ( 2 ∗ 999 ) ∗ ( 1 ∗ 1000 ) ) и
$\underset{1000}{\underbrace{1000\ast1000\ast1000\ast...\ast1000}}$
Запишем очевидные неравенства:
1 ⋅ 1 000 = 1 000;
2 ⋅ 999 > 1 000;
3 ⋅ 998 > 1 000;
...
998 ⋅ 3 > 1 000;
999 ⋅ 2 > 1 000;
1 000 ⋅ 1 = 1 000.
Умножим почленно левые и правые части, получим
( 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ 999 ∗ 1000 )2 > 10001000

Ответ: ( 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ . . . ∗ 999 ∗ 1000 )2 > 1000 1000