Задание №899
Функция задана описательно: значение функции равно разности между значением аргумента и целой частью аргумента. Постройте график этой функции.
Решение:
y = x − [x], где [x] − целая часть аргумента.
Задание №900
Найдите значение выражения:
1) (2 + 3a)(5 − a) − (2 − 3a)(5 + a) при a = −1,5;
2) ( 3 a + b )2 − ( 3 a − b )2 при a = − 31/3, b = 0, 3.
Решение:
1) ( 2 + 3 a ) ( 5 − a ) − ( 2 − 3 a ) ( 5 + a ) = 10 + 15 a − 2 a − 3 a2 − ( 10 − 15 a + 2 a − 3 a2 ) = 10 + 15 a − 2 a − 3 a2 − 10 + 15 a − 2 a + 3 a2 = ( 3 a2 − 3 a2 ) + ( 15 a − 2 a + 15 a − 2 a ) + ( 10 − 10 ) = 26 a = 26 ∗ ( − 1, 5 ) = − 39
2) ( 3 a + b )2 − ( 3 a − b )2 = 9 a2 + 6 a b + b2 − ( 9 a2 − 6 a b + b2 ) = 9 a2 + 6 a b + b2 − 9 a2 + 6 a b − b2 = ( 9 a2 − 9 a2 ) + ( 6 a b + 6 a b ) + ( b2 − b2 ) = 12 a b = 12 ∗ ( − 31/3 ) ∗ 0, 3 = 12 ∗ ( − 10/3 ) ∗ 3/10 = − 12
Задание №901
Решите уравнение:
1) (5x + 1)(2x − 3) = (10x − 9)(x + 2);
2) (7x − 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3).
Решение:
1) (5x + 1)(2x − 3) = (10x − 9)(x + 2)
10 x2 + 2 x − 15 x − 3 = 10 x2 − 9 x + 20 x − 18
10 x2 − 10 x2 + 2 x − 15 x + 9 x − 20 x = − 18 + 3
−24x = −15
x = 15/24
х = 5/8
2) (7x − 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3)
7 x2 − x + 35 x − 5 = 3 x + 7 x2 + 9 + 21 x
7 x2 − 7 x2 − x + 35 x − 3 x − 21 x = 9 + 5
10x = 14
x = 14 : 10
x = 1,4
Задание №902
Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
Решение:
Пусть n − первое число, тогда:
n + 1 − первое число;
n + 2 − второе число.
Составим уравнение:
n 3 + ( n + 1 )3 + ( n + 2 )3 = n3 + n3 + 3 n2 + 3 n + 1 + n3 + 6 n2 + 6 n + 8 = ( n3 + n3 + n3 ) + ( 3 n2 + 6 n2 ) + ( 3 n + 6 n ) + ( 1 + 8 ) = 3 n3 + 9 n2 + 9 n + 9 = 3 ( n3 + 3 n2 + 3 n + 3 ), следовательно сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.
Задание №903
В двух кадках было поровну воды. Объем воды в первой кадке сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%. Объем воды во второй кадке, наоборот, сначала уменьшили на 10%, а потом увеличили на 10%. В какой кадке воды стало больше?
Решение:
Пусть x л воды в каждой кадке, тогда x + 0,1x = 1,1x л воды стало в первой кадке после увеличения;
1,1x − 0,1 * 1,1x = 1,1x − 0,11x = 0,99x л воды стало в первой кадке после уменьшения;
x − 0,1x = 0,9x л воды стало во второй кадке после уменьшения;
0,9x + 0,1 * 0,9x = 0,9x + 0,09x = 0,99x л воды стало во второй кадке после увеличения.
Значит, после всех изменений воды в кадках осталось поровну.
Задание №904
Известно, что
x2 + y2 = a, xy = b. Чему равно значение выражения x4 + x2 y2 + y4?
Решение:
x4 + x2 y2 + y4 = x4 + x2 y2 + y4 + x2 y2 − x2 y2 = ( x4 + 2 x2 y2 + y4 ) − x2 y2 = ( x2 + y2 )2 − x2 y2 = ( x2 + y2 )2 − ( x y )2 = a2 − b2
Задание №905
Докажите, что при любом значении x значение выражения |x| − x больше соответствующего значения выражения
2 x − x2 − 2.
Решение:
Из определения модуля следует, что |x| ⩾ x, поэтому |x| − x ⩾0.
2 x − x2 − 2 = − x2 + 2 x − 1 − 1 = − ( x2 − 2 x + 1 ) − 1 = − ( x − 1 )2 − 1 < 0, так как −(x − 1)2 и −1 − отрицательные числа.
Следовательно: | x | − x > 2 x − x2 − 2
Задание №906
Найдите значение выражения:
1) 0,1x + 5y, если x = −4, y = 0,6;
2) x2 − 3 y + 7, если x = 6, y = −2;
3) |x| + |y − 6|, если x = −10, y = 2;
4) ( 2 y − 3 )2 − ( x + 4 )2, если x = −4, y = 1,5.
Решение:
1) 0,1x + 5y = 0,1 * (−4) + 5 * 0,6 = −0,4 + 3 = 2,6
2) x2 − 3 y + 7 = 62 − 3 ∗ ( − 2 ) + 7 = 36 + 6 + 7 = 49
3) |x| + |y − 6| = |−10| + |2 − 6| = 10 + 4 = 14
4) ( 2 y − 3 )2 − ( x + 4 )2 = ( 2 ∗ 1, 5 − 3 )2 − ( − 4 + 4 )2 = ( 3 − 3 )2 − ( − 4 + 4 )2 = 0 − 0 = 0
Задание №907
Изобразите на координатной плоскости все точки (x;y) такие, что:
1) x = −3, y − произвольное число;
2) y = 2, x − произвольное число;
3) x = 0, y − произвольное число.
Решение:
1) x = −3, y − произвольное число.
2) y = 2, x − произвольное число.
3) x = 0, y − произвольное число.
