Задание №641

Решить уравнение:
1) x2 + 12 x + 36 = 0;
2) 25 x2 − 30 x + 9 = 0.

Решение:

1) x2 + 12 x + 36 = 0
( x + 6 )2 = 0
x + 6 = 0
x = −6

2) 25 x2 − 30 x + 9 = 0
( 5 x − 3 )2 = 0
5x − 3 = 0
5x = 3
x = 3/5

Задание №642

Является ли тождеством равенство:
( a − 2 ) ( a − 3 ) ( a + 3 ) ( a + 2 ) + a2 = ( a2 − 6 ) 2?

Решение:

( a − 2 ) ( a − 3 ) ( a + 3 ) ( a + 2 ) + a2 = ( a2 − 6 )2
( ( a − 2 ) ( a + 2 ) ) ( ( a − 3 ) ( a + 3 ) ) + a2 = ( a2 − 6 )2
( a2 − 4 ) ( a2 − 9 ) + a2 = a4 − 12 a2 + 36
a 4 − 4 a2 − 9 a2 + 36 + a2 = a4 − 12 a2 + 36
a 4 − 12 a2 + 36 = a4 − 12 a2 + 36

Задание №643

Докажите тождество:
1) ( a − 1 )2 + 2 ( a − 1 ) + 1 = a 2;
2) ( a + b )2 − 2 ( a + b ) ( a − b ) + ( a − b )2 = 4 b 2;
3) ( a − 8 )2 + 2 ( a − 8 ) ( 3 − a ) + ( a − 3 )2 = 25;
4) ( x n − 2 )2 − 2 ( x n − 2 ) ( x n + 2 ) + ( x n + 2 )2 = 16,
где n − произвольное натуральное число.

Решение:

1) ( a − 1 )2 + 2 ( a − 1 ) + 1 = a2
a2 − 2 a + 1 + 2 a − 2 + 1 = a2
a2 + ( 2 a − 2 a ) + ( 1 + 1 − 2 ) = a2
a2 = a2

2) ( a + b )2 − 2 ( a + b ) ( a − b ) + ( a − b )2 = 4 b2
a2 + 2 a b + b2 − 2 ( a2 − b2 ) + a2 − 2 a b + b2 = 4 b2
a2 + 2 a b + b2 − 2 a2 + 2 b2 + a2 − 2 a b + b2 = 4 b2
( a2 − 2 a2 + a2 ) + ( 2 a b − 2 a b ) + ( b2 + 2 b2 + b2 ) = 4 b2
4 b2 = 4 b2

3) ( a − 8 )2 + 2 ( a − 8 ) ( 3 − a ) + ( a − 3 )2 = 25
a2 − 16 a + 64 + 2 ( 3 a − 24 − a2 + 8 a ) + a2 − 6 a + 9 = 25
a2 − 16 a + 64 + 6 a − 48 − 2 a2 + 16 a + a2 − 6 a + 9 = 25
( a2 − 2 a2 + a2 ) + ( − 16 a + 6 a + 16 a − 6 a ) + ( 64 − 48 + 9 ) = 25
25 = 25

4) ( x n − 2 )2 − 2 ( x n − 2 ) ( x n + 2 ) + ( x n + 2 )2 = 16
x2 n − 4 x n + 4 − 2 ( x2 n − 4 ) + x2 n + 4 x n + 4 = 16
x2 n − 4 x n + 4 − 2 x2 n + 8 + x2 n + 4 x n + 4 = 16
( x2 n − 2 x2 n + x2 n ) + ( − 4 x n + 4 x n ) + ( 4 + 8 + 4 ) = 16
16 = 16

Задание №644

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
1) ( 3 x + 8 )2 − 2 ( 3 x + 8 ) ( 3 x − 8 ) + ( 3 x − 8 )2;
2) ( 4 x − 7 )2 + ( 4 x − 11 )2 + 2 ( 4 x − 7 ) ( 11 − 4 x ).

Решение:

1) ( 3 x + 8 )2 − 2 ( 3 x + 8 ) ( 3 x − 8 ) + ( 3 x − 8 )2 = 9 x2 + 48 x + 64 − 2 ( 9 x2 − 64 ) + 9 x2 − 48 x + 64 = 9 x2 + 48 x + 64 − 18 x2 + 128 + 9 x2 − 48 x + 64 = ( 9 x2 − 18 x2 + 9 x2 ) + ( 48 x − 48 x ) + ( 64 + 128 + 64 ) = 256
Следовательно, при любом значении переменной значение данного выражения будет равно 256.

2) ( 4 x − 7 )2 + ( 4 x − 11 )2 + 2 ( 4 x − 7 ) ( 11 − 4 x ) = 16 x2 − 56 x + 49 + 16 x2 − 88 x + 121 + 2 ( 44 x − 77 − 16 x2 + 28 x ) = 16 x2 − 56 x + 49 + 16 x2 − 88 x + 121 + 88 x − 154 − 32 x2 + 56 x = ( 16 x2 + 16 x2 − 32 x2 ) + ( − 56 x − 88 x + 88 x + 56 x ) + ( 49 + 121 − 154 ) = 16
Следовательно при любом значении переменной значение данного выражения будет равно 256.

Задание №645

Докажите, что уравнение не имеет корней:
1) x2 − 14 x + 52 = 0;
2) 4 x2 − 2 x + 1 = 0.

Решение:

1) x2 − 14 x + 52 = 0
x2 − 14 x + 49 + 3 = 0
( x − 7 )2 + 3 = 0
( x − 7 )2 ≠ − 3, так как ( x − 7 )2 ≥ 0, то уравнение не имеет корней.

2) 4 x2 − 2 x + 1 = 0
4 x2 − 2 x + 1/4 + 3/4 = 0
( 2 x − 1/2 )2 + 3/4 = 0
( 2 x − 1/2 )2 ≠ − 3/4, так как ( 2 x − 1/2 )2 ≥ 0, то уравнение не имеет корней.

Задание №646

Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:
1) x2 − 6 x + 10;
2) 16 x2 + 24 x + 25;
3) x2 + x + 1.

Решение:

1) x2 − 6 x + 10 = x2 − 6 x + 9 + 1 = ( x − 3 )2 + 1
( x − 3 )2 ≥ 0, следовательно ( x − 3 )2 + 1 ≥ 0.
x − 3 = 0
x = −3, следовательно при x = 3 данное выражение принимает наименьшее значение:
( x − 3 )2 + 1 = ( 3 − 3 )2 + 1 = 0 + 1 = 1.

2) 16 x2 + 24 x + 25 = 16 x2 + 24 x + 9 + 16 = ( 4 x + 3 )2 + 16
( 4 x + 3 )2 ≥ 0, следовательно ( 4 x + 3 )2 + 16 ≥ 0.
4x + 3 = 0
4x = −3
x = − 3/4, следовательно при x = − 3 4 данное выражение принимает наименьшее значение:
( 4 x + 3 )2 + 16 = ( 4 ∗ ( − 3/4 ) + 3 )2 + 16 = ( − 3 + 3 )2 + 16 = 0 + 16 = 16.

3) x2 + x + 1 = x2 + x + 1/4 + 3 /4 = ( x + 1/2 )2 + 3/4
( x + 1/2 )2 ≥ 0, следовательно ( x + 1/2 )2 + 3/4 ≥ 0.
x + 1/2 = 0
x = − 1/2, следовательно при x = − 1/2 данное выражение принимает наименьшее значение:
( x + 1/2 )2 + 3/4 = ( − 1/2 + 1/2 )2 + 3/4 = 0 + 3/4 = 3/4

Задание №647

Может ли принимать отрицательные значения выражение:
1) x2 − 24 x + 144;
2) 4 x2 + 20 x + 28?

Решение:

1) x2 − 24 x + 144 = ( x − 12 )2, следовательно выражение не может принимать отрицательные значения, так как ( x − 12 )2 ≥ 0.

2) 4 x2 + 20 x + 28 = 4 x2 + 20 x + 25 + 3 = ( 2 x + 5 )2 + 3
( 2 x + 5 )2 ≥ 0, следовательно ( 2 x + 5 )2 + 3 ≥ 0.
Поэтому данное выражение не может принимать отрицательные значения.

Задание №648

Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях x. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x:
1) − x2 + 4 x − 12;
2) 22 x − 121 x2 − 2;
3) − 56 − 36 x2 − 84 x.

Решение:

1) − x2 + 4 x − 12 = − ( x2 − 4 x + 12 ) = − ( x2 − 4 x + 4 + 8 ) = − ( x2 − 4 x + 4 ) − 8 = − ( x − 2 )2 − 8 = − ( ( x − 2 )2 + 8 )
( x − 2 )2 + 8 > 0, следовательно − ( ( x − 2 )2 + 8 ) < 0.
x − 2 = 0
x = 2, следовательно при x = 2 данное выражение принимает наибольшее значение:
( x − 2 )2 + 8 = ( 2 − 2 )2 + 8 = 0 + 8 = 8.

2) 22 x − 121 x2 − 2 = − ( 121 x2 − 22 x + 2 ) = − ( 121 x2 − 22 x + 1 + 1 ) = − ( 121 x2 − 22 x + 1 ) − 1 = − ( 11 x − 1 )2 − 1 = − ( ( 11 x − 1 )2 + 1 )
( 11 x − 1 )2 + 1 > 0, следовательно − ( ( 11 x − 1 )2 + 1 ) < 0.
11x − 1 = 0
11x = 1
x = 1/11, следовательно при x = 1 /11 данное выражение принимает наибольшее значение:
( 11 x − 1 )2 + 1 = ( 11 ∗ 1/11 − 1 )2 + 1 = ( 1 − 1 )2 + 1 = 0 + 1 = 1

3) − 56 − 36 x2 − 84 x = − ( 36 x2 + 84 x + 56 ) = − ( 36 x2 + 84 x + 49 + 7 ) = − ( 36 x2 + 84 x + 49 ) − 7 = − ( 6 x + 7 )2 − 7 = − ( ( 6 x + 7 )2 + 7 )
( 6 x + 7 )2 + 7 > 0, следовательно − ( ( 6 x + 7 )2 + 7 ) < 0.
6x + 7 = 0
6x = −7
x = − 7/6, следовательно при x = − 7/6 данное выражение принимает наибольшее значение:
( 6 x + 7 )2 + 7 = ( 6 ∗ − 7/6 + 7 )2 + 7 = ( − 7 + 7 )2 + 7 = 0 + 7 = 7

Задание №649

Может ли принимать положительные значения выражение:
1) − x2 + 20 x − 100;
2) − x2 − 10 − 4 x?

Решение:

1) − x2 + 20 x − 100 = − ( x2 − 20 x + 100 ) = − ( x − 10 )2
( x − 10 )2 > 0, следовательно − ( x − 10 )2 < 0. Поэтому данное выражение не может принимать положительных значений.

2) − x2 − 10 − 4 x = − ( x2 + 4 x + 10 ) = − ( x2 + 4 x + 4 + 6 ) = − ( x2 + 4 x + 4 ) − 6 = − ( x + 2 )2 − 6 = − ( ( x + 2 )2 − 6 )
( x + 2 )2 − 6 > 0, следовательно − ( ( x + 2 )2 − 6 ) < 0. Поэтому данное выражение не может принимать положительных значений.

Задание №650

Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:
1) − x2 − 16 x + 36;
2) 2 − 16 x2 + 24 x?

Решение:

1) − x2 − 16 x + 36 = − x2 − 16 x − 64 + 64 + 36 = − ( x2 + 16 x + 64 ) + 64 + 36 = − ( x + 8 )2 + 100
x + 8 = 0
x = −8, то есть при x = −8, выражение − ( x + 8 )2 + 100 принимает наибольшее значение:
− ( x + 8 )2 + 100 = − ( − 8 + 8 )2 + 100 = 0 + 100 = 100

2) 2 − 16 x2 + 24 x = − 16 x2 + 24 x + 2 = − 16 x2 + 24 x − 9 + 9 + 2 = − ( 16 x2 − 24 x + 9 ) + 9 + 2 = − ( 16 x2 − 24 x + 9 ) + 11 = − ( 4 x + 3 )2 + 11
4x + 3 = 0
4x = −3
x = − 3/4, то есть при x = − 3/4, выражение − ( 4 x + 3 )2 + 11 принимает наибольшее значение:
− ( 4 x + 3 )2 + 11 = − ( 4 ∗ − 3/4 + 3 )2 + 11 = − ( − 3 + 3 )2 + 11 = 0 + 11 = 11.

Задание №651

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:
1) x2 − 28 x + 200;
2) 9 x2 + 30 x − 25?

Решение:

1) x2 − 28 x + 200 = x2 − 28 x + 196 − 196 + 200 = ( x2 − 28 x + 196 ) − 196 + 200 = ( x + 14 )2 + 4
x + 14 = 0
x = −14, то есть при x = −14, выражение ( x + 14 )2 + 4 принимает наименьшее значение:
( x + 14 )2 + 4 = ( − 14 + 14 )2 + 4 = 0 + 4 = 4

2) 9 x2 + 30 x − 25 = 9 x2 + 30 x + 25 − 25 − 25 = ( 9 x2 + 30 x + 25 ) − 25 − 25 = ( 3 x + 5 )2 − 50
3x + 5 = 0
3x = −5
x = − 5/3, то есть при x = − 5/3, выражение ( 3 x + 5 )2 − 50 принимает наименьшее значение:
( 3 x + 5 )2 − 50 = ( 3 ∗ ( − 5/3 ) + 5 )2 − 50 = ( − 5 + 5 )2 − 50 = 0 − 50 = − 50

Задание №652

Представьте многочлен

81 16 x4 + y8 − 9 2 x2 y4 в виде произведения квадратов двух членов.

Решение:

81/16 x4 + y8 − 9/2 x2 y4 = 81/16 x4 − 9/2 x2 y4 + y8 = ( 9/4 x2 − y4 )2 = ( ( 3/2 x − y2 ) ( 3/2 x + y2 ) )2 = ( 3/2 x − y2 )2 ∗ ( 3/2 x + y2 )2

Задание №653

Докажите, что выражение (a − 3b)(a − 3b − 4) + 4 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Решение:

( a − 3 b ) ( a − 3 b − 4 ) + 4 = ( a2 − 3 a b − 3 a b + 9 b2 − 4 a + 12 b ) + 4 = a2 − 6 a b + 9 b2 − 4 a + 12 b + 4 = ( a2 − 6 a b + 9 b2 ) − 4 a + 12 b + 4 = ( a − 3 b )2 − 4 a + 12 b + 4 = ( a − 3 b )2 − 4 ( a − 3 b ) + 4 = ( a − 3 b ) ( ( a − 3 b ) − 4 ) + 4 = ( a − 3 b ) ( ( a − 3 b ) − 22 ) + 4 = ( a − 3 b ) ( ( a − 3 b ) − 2 2 ) + 4 = ( a − 3 b − 2 )2 + 4, следовательно значения выражения всегда принимает положительно значение, так как число в квадрате, всегда число положительное.