Задание №584
Упростите выражение и найдите его значение:
1) 2 m ( m − 6 )2 − m2 ( 2 m − 15 ), если m = −4;
2) ( 2 x − 5 )2 − 4 ( x + 1 ) ( x − 7 ), если x = −3,5.
Решение:
1) 2 m ( m − 6 )2 − m2 ( 2 m − 15 ) = 2 m ( m2 − 12 m + 36 ) − 2 m3 + 15 m2 = 2 m3 − 24 m2 + 72 m − 2 m3 + 15 m2 = ( 2 m3 − 2 m3 ) + ( − 24 m2 + 15 m2 ) + 72 m = − 9 m2 + 72 m = 9 m ( 8 − m ) = 9 ∗ ( − 4 ) ∗ ( 8 − ( − 4 ) ) = − 36 ∗ 12 = − 432
2) ( 2 x − 5 )2 − 4 ( x + 1 ) ( x − 7 ) = 4 x2 − 20 x + 25 − 4 ( x2 + x − 7 x − 7 ) = 4 x2 − 20 x + 25 − 4 x2 − 4 x + 28 x + 28 = ( 4 x2 − 4 x2 ) + ( − 20 x − 4 x + 28 x ) + ( 25 + 28 ) = 4 x + 53 = 4 ∗ ( − 3, 5 ) + 53 = − 14 + 53 = 39
Задание №585
При каком значении переменной значение квадрата двучлена x + 12 на 225 больше значения квадрата двучлена x − 13?
Решение:
( x + 12 )2 − ( x − 13 )2 = 225
x2 + 24 x + 144 − ( x2 − 26 x + 169 ) = 225
x2 + 24 x + 144 − x2 + 26 x − 169 = 225
24x + 26x = 225 − 144 + 169
50x = 250
x = 250 : 50
x = 5,
Ответ: при x = 5 значение квадрата двучлена x + 12 на 225 больше значения квадрата двучлена x − 13.
Задание №586
Решите уравнение:
1) ( x − 12 ) ( x + 12 ) = 2 ( x − 6 )2 − x2;
2) ( 3 x − 1 )2 + ( 4 x + 2 )2 = ( 5 x − 1 ) ( 5 x + 1 );
3) 5 ( x + 2 )2 + ( 2 x − 1 )2 − 9 ( x + 3 ) ( x − 3 ) = 22.
Решение:
1) ( x − 12 ) ( x + 12 ) = 2 ( x − 6 )2 − x2
x2 − 144 = 2 ( x2 − 12 x + 36 ) − x2
x2 − 144 = 2 x2 − 24 x + 72 − x2
x2 + x2 − 2 x2 + 24 x = 144 + 72
24x = 216
x = 216 : 24
x = 9
Ответ: x = 9
2) ( 3 x − 1 )2 + ( 4 x + 2 )2 = ( 5 x − 1 ) ( 5 x + 1 )
9 x2 − 6 x + 1 + 16 x2 + 16 x + 4 = 25 x2 − 1
9 x2 + 16 x2 − 25 x2 − 6 x + 16 x = − 1 − 1 − 4
10x = −6
x = −6 : 10
x = −0,6
Ответ: x = −0,6
3) 5 ( x + 2 )2 + ( 2 x − 1 )2 − 9 ( x + 3 ) ( x − 3 ) = 22
5 ( x2 + 4 x + 4 ) + ( 4 x2 − 4 x + 1 ) − 9 ( x2 − 9 ) = 22
5 x2 + 20 x + 20 + 4 x2 − 4 x + 1 − 9 x2 + 81 = 22
5 x2 + 4 x2 − 9 x2 + 20 x − 4 x = 22 − 20 − 1 − 81
16x = −80
x = −80 : 16
x = −5
Ответ: x = −5
Задание №587
Решите уравнение:
1) ( 3 x + 2 )2 + ( 4 x − 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x − 1 )2;
2) 2 ( m + 1 )2 + 3 ( m − 1 )2 − 5 ( m + 1 ) ( m − 1 ) = − 4.
Решение:
1) ( 3 x + 2 )2 + ( 4 x − 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x − 1 ) 2
9 x2 + 12 x + 4 + 16 x2 − 1 = 25 x2 − 10 x + 1
9 x2 + 16 x2 − 25 x2 + 12 x + 10 x = 1 − 4 + 1
22x = −2
x = − 2/22
х = − 1/11
Ответ: х = − 1/11
2) 2 ( m + 1 )2 + 3 ( m − 1 )2 − 5 ( m + 1 ) ( m − 1 ) = − 4
2 ( m2 + 2 m + 1 ) + 3 ( m2 − 2 m + 1 ) − 5 ( m2 − 1 ) = − 4
2 m2 + 4 m + 2 + 3 m2 − 6 m + 3 − 5 m2 + 5 = − 4
( 2 m2 + 3 m2 − 5 m2 ) + ( 4 m − 6 m ) = − 4 − 2 − 3 − 5
−2m = −14
m = −14 : −2
m = 7
Ответ: m = 7
Задание №588
Найдите сторону квадрата, если при увеличении ее на 5 см получится квадрат, площадь которого на 95 см2 больше площади данного.
Решение:
Пусть сторона данного квадрата равна a, тогда
S = a2 см2 - площадь данного квадрата;
S = ( a + 5 )2 см2 - площадь увеличенного квадрата.
Составим уравнение:
( a + 5 )2 − a2 = 95
a 2 + 10 a + 25 − a2 = 95
10a = 95 − 25
a = 70 : 10
a = 7
Значит, сторона данного квадрата 7 см.
Ответ: 7 см.
Задание №589
Если сторону квадрата уменьшить на 8 см, то получится квадрат, площадь которого на 352 см2 меньше площади данного. Найдите сторону данного квадрата.
Решение:
Пусть сторона данного квадрата равна a, тогда
S = a2 см2 - площадь данного квадрата;
S = ( a − 8 )2 см2 - площадь уменьшенного квадрата.
Составим уравнение:
a 2 − ( a − 8 )2 = 352
a 2 − ( a2 − 16 a + 64 ) = 352
a 2 − a2 + 16 a − 64 = 352
16a = 352 + 64
a = 416 : 16
a = 26
Значит, сторона данного квадрата 26 см .
Ответ: 26 см.
Задание №590
Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат большего из них на 79 больше суммы квадратов двух других чисел.
Решение:
Пусть х - первое натуральное число, тогда
(х + 1) − второе число,
(n + 2) − третье число.
Удвоенный квадрат третьего (большего) числа, т.е. 2(х + 2)2 больше суммы квадратов других чисел, т.е. х2 + (х + 1)2 на 2(х + 2)2 - (х2 + (х + 1)2 ), что по условию задачи составляет 79.
Составим уравнение:
2 ( х + 2 )2 − ( х2 + ( х + 1 )2 ) = 79
2 ( х2 + 4 х + 4 ) − ( х2 + х2 + 2 х + 1 ) = 79
2 х2 + 8 х + 8 − 2 х2 − 2 х − 1 = 79
8х − 2х = 79 − 8 + 1
6х = 72
х = 72 : 6
х = 12
Значит, 12 - первое число;
12 + 1 = 13 − второе число;
12 + 2 = 14 − третье число.
Ответ: 12; 13; 14.
Задание №591
Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвертого из них на 82 больше, чем сумма квадратов первого и третьего.
Решение:
Пусть первое число n, тогда:
(n + 1) − второе число;
(n + 2) − третье число;
(n + 3) − четвертое число.
Составим уравнение:
( ( n + 1 )2 + ( n + 3 )2 ) − ( n2 + ( n + 2 )2 ) = 82
( n2 + 2 n + 1 + n2 + 6 n + 9 ) − ( n2 + n2 + 4 n + 4 ) = 82
n 2 + 2 n + 1 + n2 + 6 n + 9 − n2 − n2 − 4 n − 4 = 82
( n2 + n2 − n2 − n2 ) + ( 2 n + 6 n − 4 n ) = 82 − 1 − 9 + 4
4n = 76
n = 76 : 4
n = 19
Значит, 19 − первое число;
n + 1 = 19 + 1 = 20 − второе число;
n + 2 = 19 + 2 = 21 − третье число;
n + 3 = 19 + 3 = 22 − четвертое число.
Ответ: 19; 20; 21; 22.
Задание №592
При каких значениях a и b верно равенство:
1) $(a + b)^2 = a^2 + b^2$;
2) $(a − b)^2 = (a + b)^2$?
Решение:
1) ( a + b )2 = a2 + b2
a 2 + 2 a b + b2 = a2 + b2
a 2 + 2 a b + b2 − a2 − b2 = 0
2ab = 0
a = 0 : 2b
а = 0
b = 0 : 2a
b = 0
Ответ: при a = 0 и b = 0 данное равенство верно.
2) ( a − b )2 = ( a + b ) 2
a 2 − 2 a b + b2 = a2 + 2 a b + b2
a 2 − 2 a b + b2 − a2 − 2 a b − b2 = 0
−4ab = 0
a = 0 : −4b
а = 0
b = 0 : −4a
b = 0
Ответ: при a = 0 и b = 0 данное равенство верно.
Задание №593
Докажите тождество:
1) ( a + b )2 + ( a − b )2 = 2 ( a2 + b2 );
2) ( a + b )2 − ( a − b )2 = 4 a b;
3) a2 + b2 = ( a + b )2 − 2 a b;
4) ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( a c + b d )2 + ( a d − b c ) 2.
Решение:
1) ( a + b )2 + ( a − b )2 = 2 ( a2 + b2 )
a 2 + 2 a b + b2 + a2 − 2 a b + b2 = 2 ( a2 + b2 )
( a2 + a2 ) + ( 2 a b − 2 a b ) + ( b2 + b2 ) = 2 a2 + 2 b2
2 a2 + 2 b2 = 2 a2 + 2 b2
2) ( a + b )2 − ( a − b )2 = 4 a b
a 2 + 2 a b + b2 − ( a2 + 2 a b + b2 ) = 4 a b
a 2 + 2 a b + b2 − a2 + 2 a b − b2 = 4 a b
( a2 − a2 ) + ( 2 a b + 2 a b ) + ( b2 − b2 ) = 4 a b
4ab = 4ab
3) a2 + b2 = ( a + b )2 − 2 a b
a 2 + b2 = a2 + 2 a b + b2 − 2 a b
a 2 + b2 = a2 + b2
4) ( a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) = ( a c + b d )2 + ( a d − b c )2
a 2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 d2 = a2 c2 + 2 a c b d + b2 d2 + a2 d2 − 2 a d b c + b2 c2
a 2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 d2 = a2 c2 + ( 2 a c b d − 2 a d b c ) + b2 c2 + a2 d2 + b2 d2
a 2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 d2 = a2 c2 + b2 c2 + a2 d2 + b2 d2
Задание №594
Докажите тождество:
1) a 2 + b2 = ( a − b )2 + 2 a b;
2) ( a − b )2 + ( a b + 1 )2 = ( a2 + 1 ) ( b2 + 1 ).
Решение:
1) a2 + b2 = ( a − b )2 + 2 a b
a 2 + b2 = a2 − 2 a b + b2 + 2 a b
a 2 + b2 = a2 + b2
2) ( a − b )2 + ( a b + 1 )2 = ( a2 + 1 ) ( b2 + 1 )
a 2 − 2 a b + b2 + a2 b2 + 2 a b + 1 = a2 b2 + b2 + a2 + 1
a 2 b2 + ( − 2 a b + 2 a b ) + b2 + a2 + 1 = a2 b2 + b2 + a2 + 1
a 2 b2 + b2 + a2 + 1 = a2 b2 + b2 + a2 + 1
Задание №595
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной x:
1) ( x − 3 )2 + ( x + 3 )2 − 2 ( x − 6 ) ( x − 6 );
2) ( 4 x3 + 5 )2 + ( 2 x3 − 1 )2 − 4 ( 5 x3 + 4 ) ( x3 + 1 ).
Решение:
1) ( x − 3 )2 + ( x + 3 )2 − 2 ( x − 6 ) ( x − 6 ) = x2 − 6 x + 9 + x2 + 6 x + 9 − 2 ( x2 − 36 ) = x2 − 6 x + 9 + x2 + 6 x + 9 − 2 x2 + 72 = ( x2 + x2 − 2 x2 ) + ( − 6 x + 6 x ) + ( 9 + 9 + 72 ) = 0 + 0 + 90 = 90
Значит, при любых значениях переменной x значение данного выражения будет равно 90.
2) ( 4 x3 + 5 )2 + ( 2 x3 − 1 )2 − 4 ( 5 x3 + 4 ) ( x3 + 1 ) = 16 x6 + 40 x3 + 25 + 4 x6 − 4 x3 + 1 − 4 ( 5 x6 + 4 x3 + 5 x3 + 4 ) = 16 x6 + 40 x3 + 25 + 4 x6 − 4 x3 + 1 − 20 x6 − 16 x3 − 20 x3 − 16 = ( 16 x6 + 4 x6 − 20 x6 ) + ( 40 x3 − 4 x3 − 16 x3 − 20 x3 ) + ( 25 + 1 − 16 ) = 0 + 0 + 10 = 10
Значит, при любых значениях переменной x значение данного выражения будет равно 10.
Задание №596
Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной x:
1) ( 6 x − 8 )2 + ( 8 x + 6 )2 − ( 10 x − 1 ) ( 10 x + 1 );
2) 2 ( 4 x − y ) ( 8 x + 5 y ) − ( 8 x − 5 y ) − 4 y ( 26 x + 1 ).
Решение:
1) ( 6 x − 8 )2 + ( 8 x + 6 )2 − ( 10 x − 1 ) ( 10 x + 1 ) = 36 x2 − 96 x + 64 + 64 x2 + 96 x + 36 − ( 100 x2 − 1 ) = 36 x2 − 96 x + 64 + 64 x2 + 96 x + 36 − 100 x2 + 1 = ( 36 x2 + 64 x2 − 100 x2 ) + ( − 96 x + 96 x ) + ( 64 + 36 + 1 ) = 0 + 0 + 101 = 101
Значит, при любых значениях переменной x, значение данного выражения будет равно 101.
2) 2 ( 4 x − y ) ( 8 x + 5 y ) − ( 8 x − 5 y )2 − 4 y ( 26 x + 1 ) = 2 ( 32 x2 − 8 x y + 20 x y − 5 y2 ) − ( 64 x2 − 80 x y + 25 y2 ) − 104 x y − 4 y = 64 x2 − 16 x y + 40 x y − 10 y2 − 64 x2 + 80 x y − 25 y2 − 104 x y − 4 y = ( 64 x2 − 64 x2 ) + ( − 16 x y + 40 x y + 80 x y − 104 x y ) + ( − 10 y2 − 25 y2 ) − 4 y = 0 + 0 − 35 y2 − 4 y = − 35 y2 − 4 y
Значит, значение данного выражения не зависит от значения переменной x.
