Задание №567

Какому из данных многочленов тождественно равно выражение

( 5 a + 3 )2:
1) 25 a2 + 15 a + 9;
2) 25 a2 + 30 a + 9;
3) 25 a2 + 9;
4) 5 a2 + 3?

Решение:

1) ( 5 a + 3 )2 = 25 a2 + 15 a + 9
25 a2 + 30 a + 9 ≠ 25 a2 + 15 a + 9 не тождественно.

2) ( 5 a + 3 )2 = 25 a2 + 30 a + 9
25 a2 + 30 a + 9 = 25 a2 + 30 a + 9 тождественно.

3) ( 5 a + 3 )2 = 25 a2 + 9
25 a2 + 30 a + 9 ≠ 25 a2 + 9 не тождественно.

4) 25 a2 + 30 a + 9 ≠ 5 a2 + 3 не тождественно.

Задание №568

Какому из данных равенств является тождеством:
1) ( 12 a − b )2 = 144 a2 − b2;
2) ( 12 a − b )2 = 144 a2 + 24 a b + b2;
3) ( 12 a − b )2 = 144 a2 − 24 a b + b2;
4) ( 12 a − b )2 = 12 a2 − 24 a b + b2?

Решение:

1) ( 12 a − b )2 = 144 a2 − b2
144 a2 − 24 a b + b2 ≠ 144 a2 − b2 не тождественно.

2) ( 12 a − b )2 = 144 a2 + 24 a b + b2
144 a2 − 24 a b + b2 ≠ 144 a2 + 24 a b + b2 не тождественно.

3) ( 12 a − b )2 = 144 a2 − 24 a b + b2
144 a2 − 24 a b + b2 = 144 a2 − 24 a b + b2 тождественно.

4) ( 12 a − b )2 = 12 a2 − 24 a b + b2
144 a2 − 24 a b + b2 ≠ 12 a2 − 24 a b + b2 не тождественно.

Задание №569

Представьте в виде многочлена выражение:
1) ( a + x )2;
2) ( x + 2 )2;
3) ( y − 1 )2;
4) ( 5 − p )2;
5) ( 4 + k )2;
6) ( 3 a − 2 )2;
7) ( 7 b + 6 )2;
8) ( 8 x + 4 y )2;
9) ( 0, 4 m − 0, 5 n )2;
10) ( 3 a + 1/3 b )2;
11) ( y − 13 )2;
12) ( 13 − y )2;
13) ( b2 − 11 )2;
14) ( a2 + 4 b )2;
15) ( x2 + y3 )2;
16) ( a3 − 4 b )2;
17) ( a2 + a )2;
18) ( 3 b2 − 2 b5 )2.

Решение:

1) ( a + x )2 = a2 + 2 a x + x2

2) ( x + 2 )2 = x2 + 2 ∗ 2 x + 22 = x2 + 4 x + 4

3) ( y − 1 )2 = y2 − 2 y + 1

4) ( 5 − p )2 = 52 − 2 ∗ 5 p + p2 = 25 − 10 p + p2

5) ( 4 + k )2 = 42 + 2 ∗ 4 k + k2 = 16 + 8 k + k2

6) ( 3 a − 2 )2 = ( 3 a )2 − 2 ∗ 2 ∗ 3 a + 22 = 9 a2 − 12 a + 4

7) ( 7 b + 6 )2 = ( 7 b )2 + 2 ∗ 6 ∗ 7 b + 62 = 49 b2 + 84 b + 36

8) ( 8 x + 4 y )2 = ( 8 x )2 + 2 ∗ 8 ∗ 4 x y + ( 4 y )2 = 64 x2 + 64 x y + 16 y2

9) ( 0, 4 m − 0, 5 n )2 = ( 0, 4 m )2 − 2 ∗ 0, 4 ∗ 0, 5 m n + ( 0, 5 n )2 = 0, 16 m2 − 0, 4 m n + 0, 25 n2

10) ( 3 a + 1/3 b )2 = ( 3 a )2 + 2 ∗ 3 ∗ 1/3 a b + ( 1/3 b )2 = 9 a2 + 2 a b + 1/9 b2

11) ( y − 13 )2 = y2 − 2 ∗ 13 y + 132 = y2 − 26 y + 169

12) ( 13 − y )2 = 132 − 2 ∗ 13 y + y2 = 169 − 26 y + y2

13) ( b2 − 11 )2 = ( b2 )2 − 2 ∗ 11 b2 + 112 = b4 − 22 b2 + 121

14) ( a2 + 4 b )2 = ( a2 )2 + 2 ∗ 4 a2 b + ( 4 b )2 = a4 + 8 a2 b + 16 b2

15) ( x2 + y3 )2 = ( x2 )2 + 2 x2 y3 + ( y3 )2 = x4 + 2 x2 y3 + y 6

16) ( a3 − 4 b )2 = ( a3 )2 − 2 ∗ 4 a3 b + ( 4 b )2 = a6 − 8 a3 b + 16 b2

17) ( a2 + a )2 = ( a2 )2 + 2 a2 ∗ a + a2 = a4 + 2 a3 + a2

18) ( 3 b2 − 2 b5 )2 = ( 3 b2 )2 − 2 ∗ 3 ∗ 2 b2 ∗ b5 + ( 2 b5 )2 = 9 b4 − 12 b7 + 4 b10

Задание №570

Выполните возведение в квадрат:
1) ( a + 8 )2;
2) ( b − 2 )2;
3) ( 7 + c )2;
4) ( 6 − d )2;
5) ( 2 m + 1 )2;
6) ( 4 x − 3 )2;
7) ( 5 m − 4 n )2;
8) ( 10 c + 7 d )2;
9) ( 4 x − 1/8 y )2;
10) ( 0, 3 a + 0, 9 b )2;
11) ( c2 − 6 )2;
12) ( 15 + k2 )2;
13) ( m2 − 3 n )2;
14) ( m4 − n3 )2;
15) ( 5 a4 − 2 a7 ) 2.

Решение:

1) ( a + 8 )2 = a2 + 2 ∗ 8 a + 82 = a2 + 16 a + 64

2) ( b − 2 )2 = b2 − 2 ∗ 2 b + 22 = b2 − 4 b + 4

3) ( 7 + c )2 = 72 + 2 ∗ 7 c + c2 = 49 + 14 c + c2

4) ( 6 − d )2 = 62 − 2 ∗ 6 d + d2 = 36 − 12 d + d2

5) ( 2 m + 1 )2 = ( 2 m )2 + 2 ∗ 1 ∗ 2 m + 12 = 4 m2 + 4 m + 1

6) ( 4 x − 3 )2 = ( 4 x )2 − 2 ∗ 4 ∗ 3 x + 32 = 16 x2 − 24 x + 9

7) ( 5 m − 4 n )2 = ( 5 m )2 − 2 ∗ 5 ∗ 4 m n + ( 4 n )2 = 25 m2 − 40 m n + 16 n2

8) ( 10 c + 7 d )2 = ( 10 c )2 + 2 ∗ 10 ∗ 7 c d + ( 7 d )2 = 100 c2 + 140 c d + 49 d2

9) ( 4 x − 1/8 y )2 = ( 4 x )2 − 2 ∗ 4 ∗ 1/8 x y + ( 1/8 y )2 = 16 x2 − x y + 1/64 y2

10) ( 0, 3 a + 0, 9 b )2 = ( 0, 3 a )2 + 2 ∗ 0, 3 ∗ 0, 9 a b + ( 0, 9 b )2 = 0, 09 a2 + 0, 54 a b + 0, 81 b2

11) ( c2 − 6 )2 = ( c2 )2 − 2 ∗ 6 c2 + 62 = c4 − 12 c2 + 36

12) ( 15 + k2 )2 = 152 + 2 ∗ 15 k2 + ( k2 )2 = 225 + 30 k2 + k 4

13) ( m2 − 3 n )2 = ( m2 )2 − 2 ∗ 3 m2 n + ( 3 n )2 = m4 − 6 m2 n + 9 n2

14) ( m4 − n3 )2 = ( m4 )2 − 2 m4 n3 + ( n3 )2 = m8 − 2 m4 n3 + n 6

15) ( 5 a4 − 2 a7 )2 = ( 5 a4 )2 − 5 ∗ 2 ∗ 2 a4 a7 + ( 2 a7 )2 = 25 a8 − 20 a11 + 4 a14

Задание №571

Упростите выражение:
1) a 2 + ( 3 a − b )2;
2) ( 4 x + 5 )2 − 40 x;
3) 50 a2 − ( 7 a − 1 )2;
4) c2 + 36 − ( c − 6 )2;
5) ( x − 2 )2 + x ( x + 10 );
6) 3 m ( m − 4 ) − ( m + 2 )2;
7) ( y − 9 )2 + ( 4 − y ) ( y + 6 );
8) ( x − 4 ) ( x + 4 ) − ( x − 1 )2;
9) ( 2 a − 3 b )2 + ( 3 a + 2 b )2;
10) ( x − 5 )2 − ( x − 7 ) ( x + 7 ).

Решение:

1) a2 + ( 3 a − b )2 = a2 + ( 9 a2 − 6 a b + b2 ) = a2 + 9 a2 − 6 a b + b2 = 10 a2 − 6 a b + b2

2) ( 4 x + 5 )2 − 40 x = ( 16 x2 + 40 x + 25 ) − 40 x = 16 x2 + 40 x + 25 − 40 x = 16 x2 + 25

3) 50 a2 − ( 7 a − 1 )2 = 50 a2 − ( 49 a2 − 14 a + 1 ) = 50 a2 − 49 a2 + 14 a + 1 = a2 + 14 a + 1

4) c2 + 36 − ( c − 6 )2 = c2 + 36 − ( c2 − 12 c + 36 ) = c2 + 36 − c2 + 12 c − 36 = 12 c

5) ( x − 2 )2 + x ( x + 10 ) = x2 − 4 x + 4 + x2 + 10 x = 2 x2 + 6 x + 4 = 2 ( x2 + 3 x + 2 )

6) 3 m ( m − 4 ) − ( m + 2 )2 = 3 m2 − 12 m − ( m2 + 4 m + 4 ) = 3 m2 − 12 m − m2 − 4 m − 4 = 2 m2 − 16 m − 4 = 2 ( m2 − 8 m − 2 )

7) ( y − 9 )2 + ( 4 − y ) ( y + 6 ) = y2 − 18 y + 81 + ( 4 y − y2 + 24 − 6 y ) = y2 − 18 y + 81 + 4 y − y2 + 24 − 6 y = ( y2 − y2 ) + ( − 18 y + 4 y − 6 y ) + ( 81 + 24 ) = 0 − 20 y + 105 = − 5 ( 4 y − 21 )

8) ( x − 4 ) ( x + 4 ) − ( x − 1 )2 = x2 − 16 − ( x2 − 2 x + 1 ) = x2 − 16 − x2 + 2 x − 1 = 2 x − 17

9) ( 2 a − 3 b )2 + ( 3 a + 2 b )2 = 4 a2 − 12 a b + 9 b2 + 9 a2 + 12 a b + 4 b2 = ( 4 a2 + 9 a2 ) + ( − 12 a b + 12 a b ) + ( 9 b2 + 4 b2 ) = 13 a2 + 13 b2 = 13 ( a2 + b2 )

10) ( x − 5 )2 − ( x − 7 ) ( x + 7 ) = x2 − 10 x + 25 − ( x2 − 49 ) = x2 − 10 x + 25 − x2 + 49 = − 10 x + 74 = − 2 ( 5 x − 37 )

Задание №572

Упростите выражение:
1) ( x − 12 )2 + 24 x;
2) ( x + 8 )2 − x ( x + 5 );
3) 2 x ( x + 2 ) − ( x − 2 )2;
4) ( y + 7 )2 + ( y + 2 ) ( y − 7 );
5) ( a + 1 ) ( a − 1 ) − ( a + 4 )2;
6) ( x − 10 ) ( 9 − x ) + ( x + 10 )2.

Решение:

1) ( x − 12 )2 + 24 x = x2 − 24 x + 144 + 24 x = x2 + 144

2) ( x + 8 )2 − x ( x + 5 ) = x2 + 16 x + 64 − x2 − 5 x = 11 x + 64

3) 2 x ( x + 2 ) − ( x − 2 )2 = 2 x2 + 4 x − ( x2 − 4 x + 4 ) = 2 x2 + 4 x − x2 + 4 x − 4 = x2 + 8 x − 4

4) ( y + 7 )2 + ( y + 2 ) ( y − 7 ) = y2 + 14 y + 49 + y2 + 2 y − 7 y − 14 = 2 y2 + 9 y + 35

5) ( a + 1 ) ( a − 1 ) − ( a + 4 )2 = a2 − 1 − ( a2 + 8 a + 16 ) = a2 − 1 − a2 − 8 a − 16 = − 8 a − 17

6) ( x − 10 ) ( 9 − x ) + ( x + 10 )2 = 9 x − 90 − x2 + 10 x + x2 + 20 x + 100 = ( − x2 + x2 ) + ( 9 x + 10 x + 20 x ) + ( − 90 + 100 ) = 39 x + 10

Задание №573

Решите уравнение:
1) ( x − 8 )2 − x ( x + 6 ) = − 2;
2) ( x + 7 )2 = ( x − 3 ) ( x + 3 );
3) ( 2 x + 1 )2 − ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0;
4) x ( x − 2 ) − ( x + 5 )2 = 35.

Решение:

1) ( x − 8 )2 − x ( x + 6 ) = − 2
x2 − 16 x + 64 − x2 − 6 x = − 2
−16x − 6x = −2 − 64
−22x = −66
x = −66 : −22
x = 3

2) ( x + 7 )2 = ( x − 3 ) ( x + 3 )
x2 + 14 x + 49 = x2 − 9
x2 − x2 + 14 x = − 49 − 9
14x = −58
x = − 58/14
х = − 29/7
х = − 4_1/7

3) ( 2 x + 1 )2 − ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0
4 x2 + 4 x + 1 − ( 4 x2 − 2 x + 6 x − 3 ) = 0
4 x2 + 4 x + 1 − 4 x2 + 2 x − 6 x + 3 = 0
4x + 2x − 6x = −1 − 3
0x = −4
0 ≠ −4, уравнение не имеет корней.

4) x ( x − 2 ) − ( x + 5 )2 = 35
x2 − 2 x − ( x2 + 10 x + 25 ) = 35
x2 − 2 x − x2 − 10 x − 25 = 35
−2x − 10x = 35 + 25
−12x = 60
x = 60 : (−12)
x = −5

Задание №574

Решите уравнение:
1) ( x + 9 )2 − x ( x + 8 ) = 1;
2) ( x − 11 )2 = ( x − 7 ) ( x − 9 );
3) ( x − 4 ) ( x + 4 ) − ( x + 6 )2 = − 16;
4) ( 1 − 3 x )2 − x ( 9 x − 2 ) = 5.

Решение:

1) ( x + 9 )2 − x ( x + 8 ) = 1
x2 + 18 x + 81 − x2 − 8 x = 1
18x − 8x = 1 − 81
10x = −80
x = −80 : 10
x = −8

2) ( x − 11 )2 = ( x − 7 ) ( x − 9 )
x2 − 22 x + 121 = x2 − 7 x + 63 − 9 x
x2 − x2 − 22 x + 7 x + 9 x = 63 − 121
−22x + 7x + 9x = −58
−6x = −58
x = 58/6
х = 29/3
х = 9_2/3

3) ( x − 4 ) ( x + 4 ) − ( x + 6 )2 = − 16
x2 − 16 − ( x2 + 12 x + 36 ) = − 16
x2 − 16 − x2 − 12 x − 36 = − 16
−12x = −16 + 16 + 36
−12x = 36
x = 36 : −12
x = −3

4) ( 1 − 3 x )2 − x ( 9 x − 2 ) = 5
1 − 6 x + 9 x2 − 9 x2 + 2 x = 5
−6x + 2x = 5 − 1
−4x = 4
x = 4 : (−4)
x = −1