Задание №537

Разложите на множители:
1) 16 − b 2;
2) c2 − 49;
3) 0, 04 − a2;
4) x2 − 4/9;
5) 4 x2 − 25;
6) 81 c2 − 64 d 2;
7) 0, 09 x2 − 0, 25 y 2;
8) a2 b4 − c6 d 8;
9) 4 a2 c2 − 9 x2 y 2;
10) x 24 − y 22;
11) − 1600 + a12;
12) a 18 − 49/64.

Решение:

1) 16 − b2 = ( 4 − b ) ( 4 + b )

2) c2 − 49 = ( c − 7 ) ( c + 7 )

3) 0, 04 − a2 = ( 0, 2 − a ) ( 0, 2 + a )

4) x2 − 4/9 = ( x − 2/3 ) ( x + 2/3 )

5) 4 x2 − 25 = ( 2 x − 5 ) ( 2 x + 5 )

6) 81 c2 − 64 d2 = ( 9 c − 8 d ) ( 9 c + 8 d )

7) 0, 09 x2 − 0, 25 y2 = ( 0, 3 x − 0, 5 y ) ( 0, 3 x + 0, 5 y )

8) a2 b4 − c6 d8 = ( a b2 − c3 d4 ) ( a b2 + c3 d4 )

9) 4 a2 c2 − 9 x2 y2 = ( 2 a c − 3 x y ) ( 2 a c + 3 x y )

10) x 24 − y 22 = ( x12 − y11 ) ( x12 + y11 )

11) − 1600 + a12 = a12 − 1600 = ( a6 − 40 ) ( a6 + 40 )

12) a 18 − 49/64 = ( a9 − 7/8 ) ( a9 + 7/8 )

Задание №538

Решите уравнение:
1) x2 − 49 = 0;
2) 1/4 − z2 = 0;
3) x2 + 36 = 0;
4) x2 − 0, 01 = 0;
5) 9 x2 − 4 = 0;
6) 0, 04 x2 − 1 = 0.

Решение:

1) x2 − 49 = 0
(x − 7)(x + 7) = 0
x1 − 7 = 0
x1 = 7;
x2 + 7 = 0
x2 = − 7.

2) 1/4 − z2 = 0
( 1/2 − z ) ( 1/2 + z ) = 0
1/2 − z1 = 0
− z1 = − 1/2
z1 = 1/2;
1/2 + z2 = 0
z2 = − 1/2.

3) x2 + 36 = 0
x2 ≠ − 36, уравнение не имеет корней, так как квадрат натурального числа не может принимать отрицательные значения.

4) x2 − 0, 01 = 0
(x − 0,1)(x + 0,1) = 0
x1 − 0, 1 = 0
x1 = 0, 1;
x2 + 0, 1 = 0
x2 = − 0, 1.

5) 9 x2 − 4 = 0
(3x − 2)(3x + 2) = 0
3 x1 − 2 = 0
3 x1 = 2
x1 = 2 3;
3 x2 + 2 = 0
3 x2 = − 2
x2 = − 2 3.

6) 0, 04 x2 − 1 = 0
(0,2x − 1)(0,2x + 1) = 0
0, 2 x1 − 1 = 0
0, 2 x1 = 1
x1 = 1 : 0,2 
x1 = 5;
0, 2 x2 + 1 = 0
0, 2 x2 = − 1
x2 = − 1 : 0, 2 
x2 = − 5.

Задание №539

Решите уравнение:
1) с 2 − 0, 25 = 0;
2) 81 x2 − 121 = 0;
3) − 0, 09 + 4 x2 = 0.

Решение:

1) с2 − 0, 25 = 0
(c − 0,5)(c + 0,5) = 0
c1 − 0, 5 = 0
c1 = 0, 5;
c2 + 0, 5 = 0
c2 = − 0, 5.

2) 81 x2 − 121 = 0
(9x − 11)(9x + 11) = 0
9 x1 − 11 = 0
9 x1 = 11
x1 = 11/9 = 1_2/9;
9 x2 + 11 = 0
9 x2 = − 11
x2 = − 11/9 = − 1_2/9.

3) − 0, 09 + 4 x2 = 0
4 x2 − 0,09 = 0
(2x − 0,3)(2x + 0,3) = 0
2 x1 − 0,3 = 0
2 x1 = 0,3
x1 = 0,3 : 2
x1 = 0,15;
2 x2 + 0,3 = 0
2 x2 = − 0,3
x2 = − 0,3 : 2
x2 = − 0,15.

Задание №540

Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:
1) ( x + 2 )2 − 49;
2) ( x − 10 )2 − 25 y 2;
3) 25 − ( y − 3 )2;
4) ( a − 4 )2 − ( a + 2 )2;
5) ( m − 10 )2 − ( n − 6 )2;
6) ( 8 y + 4 )2 − ( 4 y − 3 )2;
7) ( 5 a + 3 b )2 − ( 2 a − 4 b )2;
8) 4 ( a − b )2 − ( a + b )2;
9) ( x2 + x + 1 )2 − ( x2 − x + 2 )2;
10) ( − 3 x3 + y )2 − 16 x 6.

Решение:

1) ( x + 2 )2 − 49 = ( ( x + 2 ) − 7 ) ( ( x + 2 ) + 7 ) = ( x + 2 − 7 ) ( x + 2 + 7 ) = ( x − 5 ) ( x + 9 )

2) ( x − 10 )2 − 25 y2 = ( ( x − 10 ) − 5 y ) ( ( x − 10 ) + 5 y ) = ( x − 10 − 5 y ) ( x − 10 + 5 y )

3) 25 − ( y − 3 )2 = ( 5 − ( y − 3 ) ) ( 5 + ( y − 3 ) ) = ( 5 − y + 3 ) ( 5 + y − 3 ) = ( 8 − y ) ( 2 + y )

4) ( a − 4 )2 − ( a + 2 )2 = ( ( a − 4 ) − ( a + 2 ) ) ( ( a − 4 ) + ( a + 2 ) ) = ( a − 4 − a − 2 ) ( a − 4 + a + 2 ) = − 6 ( 2 a − 2 ) = − 6 ∗ 2 ( a − 1 ) = − 12 ( a − 1 )

5) ( m − 10 )2 − ( n − 6 )2 = ( ( m − 10 ) − ( n − 6 ) ) ( ( m − 10 ) + ( n − 6 ) ) = ( m − 10 − n + 6 ) ( m − 10 + n − 6 ) = ( m − n − 4 ) ( m + n − 16 )

6) ( 8 y + 4 )2 − ( 4 y − 3 )2 = ( ( 8 y + 4 ) − ( 4 y − 3 ) ) ( ( 8 y + 4 ) + ( 4 y − 3 ) ) = ( 8 y + 4 − 4 y + 3 ) ( 8 y + 4 + 4 y − 3 ) = ( 4 y + 7 ) ( 12 y + 1 )

7) ( 5 a + 3 b )2 − ( 2 a − 4 b )2 = ( ( 5 a + 3 b ) − ( 2 a − 4 b ) ) ( ( 5 a + 3 b ) + ( 2 a − 4 b ) ) = ( 5 a + 3 b − 2 a + 4 b ) ( 5 a + 3 b + 2 a − 4 b ) = ( 3 a + 7 b ) ( 7 a − b )

8) 4 ( a − b )2 − ( a + b )2 = 2 2 ( a − b )2 − ( a + b )2 = ( 2 a − 2 b )2 − ( a + b )2 = ( ( 2 a − 2 b ) − ( a + b ) ) ( ( 2 a − 2 b ) + ( a + b ) ) = ( 2 a − 2 b − a − b ) ( 2 a − 2 b + a + b ) = ( a − 3 b ) ( 3 a − b )

9) ( x2 + x + 1 )2 − ( x2 − x + 2 )2 = ( ( x2 + x + 1 ) − ( x2 − x + 2 ) ) ( ( x2 + x + 1 ) + ( x2 − x + 2 ) ) = ( x2 + x + 1 − x2 + x − 2 ) ( x2 + x + 1 + x2 − x + 2 ) = ( 2 x − 1 ) ( 2 x2 + 3 )

10) ( − 3 x3 + y )2 − 16 x6 = ( ( − 3 x3 + y ) − 4 x3 ) ( ( − 3 x3 + y ) + 4 x3 ) = ( − 3 x3 + y − 4 x3 ) ( − 3 x3 + y + 4 x3 ) = ( − 7 x3 + y ) ( x3 + y )

Задание №541

Представьте в виде произведения выражение:
1) ( x − 2 )2 − 4;
2) ( b + 7 )2 − 100 c2;
3) 121 − ( b + 7 )2;
4) a4 − ( 7 b − a2 )2;
5) ( 4 x − 9 )2 − ( 2 x + 19 )2;
6) ( a + b + c )2 − ( a − b − c )2.

Решение:

1) ( x − 2 )2 − 4 = ( ( x − 2 ) − 2 ) ( ( x − 2 ) + 2 ) = ( x − 2 − 2 ) ( x − 2 + 2 ) = ( x − 4 ) ∗ x = x ( x − 4 )

2) ( b + 7 )2 − 100 c2 = ( ( b + 7 ) − 10 c ) ( ( b + 7 ) + 10 c ) = ( b + 7 − 10 c ) ( b + 7 + 10 c )

3) 121 − ( b + 7 )2 = ( 11 − ( b + 7 ) ) ( 11 + ( b + 7 ) ) = ( 11 − b − 7 ) ( 11 + b + 7 ) = ( 4 − b ) ( 18 + b )

4) a4 − ( 7 b − a2 )2 = ( a2 − ( 7 b − a2 ) ) ( a2 + ( 7 b − a2 ) ) = ( a2 − 7 b + a2 ) ( a2 + 7 b − a2 ) = ( 2 a2 − 7 b ) ∗ 7 b

5) ( 4 x − 9 )2 − ( 2 x + 19 )2 = ( ( 4 x − 9 ) − ( 2 x + 19 ) ) ( ( 4 x − 9 ) + ( 2 x + 19 ) ) = ( 4 x − 9 − 2 x − 19 ) ( 4 x − 9 + 2 x + 19 ) = ( 2 x − 28 ) ( 6 x + 10 )

6) ( a + b + c )2 − ( a − b − c )2 = ( ( a + b + c ) − ( a − b − c ) ) ( ( a + b + c ) + ( a − b − c ) ) = ( a + b + c − a + b + c ) ( a + b + c + a − b − c ) = ( 2 b + 2 c ) ∗ 2 a = 2 ∗ 2 a ( b + c ) = 4 a ( b + c )

Задание №542

Найдите значение выражения:
1) ( 9 x − 4 )2 − ( 7 x + 5 )2, если x = 1,5;
2) ( 5 x + 3 y )2 − ( 3 x + 5 y )2, если x = 2,1, y = 1,9.

Решение:

1) ( 9 x − 4 )2 − ( 7 x + 5 )2 = ( ( 9 x − 4 ) − ( 7 x + 5 ) ) ( ( 9 x − 4 ) + ( 7 x + 5 ) ) = ( 9 x − 4 − 7 x − 5 ) ( 9 x − 4 + 7 x + 5 ) = ( 2 x − 9 ) ( 16 x + 1 ) = ( 2 ∗ 1, 5 − 9 ) ( 16 ∗ 1, 5 + 1 ) = ( 3 − 9 ) ( 24 + 1 ) = − 6 ∗ 25 = − 150

2) ( 5 x + 3 y )2 − ( 3 x + 5 y )2 = ( ( 5 x + 3 y ) − ( 3 x + 5 y ) ) ( ( 5 x + 3 y ) + ( 3 x + 5 y ) ) = ( 5 x + 3 y − 3 x − 5 y ) ( 5 x + 3 y + 3 x + 5 y ) = ( 2 x − 2 y ) ( 8 x + 8 y ) = 2 ( x − y )8 ( x + y ) = 16 ( x − y ) ( x + y ) = 16 ( 2, 1 − 1, 9 ) ( 2, 1 + 1, 9 ) = 16 ∗ 0, 2 ∗ 4 = 12, 8

Задание №543

Найдите значение выражения

( 2, 5 a − 1, 5 b )2 − ( 1, 5 a − 2, 5 b )2, если a = −1,5, b = −3,5.

Решение:

( 2, 5 a − 1, 5 b )2 − ( 1, 5 a − 2, 5 b )2 = ( ( 2, 5 a − 1, 5 b ) − ( 1, 5 a − 2, 5 b ) ) ( ( 2, 5 a − 1, 5 b ) + ( 1, 5 a − 2, 5 b ) ) = ( 2, 5 a − 1, 5 b − 1, 5 a + 2, 5 b ) ( 2, 5 a − 1, 5 b + 1, 5 a − 2, 5 b ) = ( a + b ) ( 4 a − 4 b ) = 4 ( a + b ) ( a − b ) = 4 ( − 1, 5 − 3, 5 ) ( − 1, 5 − ( − 3, 5 ) ) = 4 ( − 1, 5 − 3, 5 ) ( − 1, 5 + 3, 5 ) = 4 ∗ ( − 5 ) ∗ 2 = − 40

Задание №544

Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображенной на рисунке 4? Вычислите значение полученного выражения при a = 7,4 см, b = 2,6 см.

Решение:

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади квадрата со стороной a и площади квадрата со стороной b, то есть:
S = a2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) = ( 7, 4 − 2, 6 ) ( 7, 4 + 2, 6 ) = 4, 8 ∗ 10 = 48 (см2) площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 48 см2.

Задание №545

Две окружности, радиусы которых равны R и r (R > r), имеют общий центр. Выразите через π, R и r площадь фигуры, ограниченной этими окружностями. Вычислите значение полученного выражения при R = 5,1 см, r = 4,9 см.

Решение:


Площадь искомой фигуры равна разности площадей окружностей с диаметром 5,1 см и диаметром 4,9 см, то есть:
S = πR 2 − πr 2 = π ( R2 − r2 ) = π ( R − r ) ( R + r ) = π ( 5, 1 − 4, 9 ) ( 5, 1 + 4, 9 ) = 3, 14 ∗ 0, 2 ∗ 10 = 3, 14 ∗ 2 = 6, 28 (см2) площадь искомой фигуры.
Ответ: 6, 28 см2.