Задание №491
Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражение
3 n + 2 − 2 n + 2 + 3 n − 2 n делится нацело на 10.
Решение:
3n + 2 − 2n + 2 + 3n − 2n = ( 3n + 2 + 3n ) − ( 2n + 2 + 2n ) = 3n ( 32 + 1 ) − 2n ( 22 + 1 ) = 3n ( 9 + 1 ) − 2n ( 4 + 1 ) = 3n ∗ 10 − 2n ∗ 5 = 3n ∗ 10 − 2n − 1 ∗ 2 ∗ 5 = 3n ∗ 10 − 2n − 1 ∗ 10 = 10 ( 3n − 2n − 1 )
Задание №492
Известно, что при некоторых значениях x и y выполняется равенство
x2 + y2 = 1. Найдите при этих же значениях x и y значение выражения 2 x4 + 3 x2 y2 + y4 + y2.
Решение:
2 x4 + 3 x2 y2 + y4 + y2 = 2 x4 + 2 x2 y2 + x2 y2 + y4 + y2 = ( 2 x4 + 2 x2 y2 ) + ( x2 y2 + y4 ) + y2 = 2 x2 ( x2 + y2 ) + y2 ( x2 + y2 ) + y2 = ( x2 + y2 ) ( 2 x2 + y2 ) + y2 = 1 ∗ ( 2 x2 + y2 ) + y2 = 2 x2 + y2 + y2 = x2 + x2 + y2 + y2 = ( x2 + y2 ) + ( x2 + y2 ) = 1 + 1 = 2
Задание №493
(Задача из русского фольклора.) Пастушок пригнал на поляну овец. На поляне были колышки. Если к каждому колышку он привяжет по овце, то для одной колышка не хватит. Если к каждому колышку он привяжет по две овцы, то один колышек останется свободным. Сколько овец пригнал пастушок?
Решение:
Пусть x − количество овец, тогда:
x − 1 − колышков если к каждому колышку привязать по одной овце;
x/2 + 1 − колышков если к каждому колышку привязать по две овцы, а количество колышков и в том и другом случае равно.
Составим уравнение:
x − 1 = x/2 + 1
x − x/2 = 1 + 1
x − x/2 = 1 + 1
1/2 x = 2
x = 2 : 1/2
x = 2 * 2
x = 4
Значит, 4 овцы пригнал пастушок.
Ответ: 4 овцы.
Задание №494
Петр и Дмитрий могут прополоть огород, работая вместе, за 2,4 ч. Петр может сделать это самостоятельно за 4 ч. Сколько времени потребуется Дмитрию, чтобы самостоятельно прополоть огород?
Решение:
Пусть весь огород равен 1, тогда:
$\frac1{2,4}=\frac{10}{24}=\frac5{12}$ огорода могут прополоть за 1 час Петр и Дмитрий работая вместе;
1/4 огорода может прополоть за 1 час Петр;
$\frac5{12}-\frac14=\frac{5-3}{12}=\frac2{12}=\frac16$ огорода может прополоть за 1 час Дмитрий;
1 : 1/6 = 1 ∗ 6 = 6 часов потребуется Дмитрию, чтобы прополоть весь огород самостоятельно.
Ответ: 6 ч.
Задание №495
В одном бидоне было в 4 раза больше молока, чем в другом. Когда из первого бидона перелили 10 л молока во второй, то объем молока во втором бидоне составил 2/3 объема молока, оставшегося в первом бидоне. Сколько литров молока было в каждом бидоне сначала?
Решение:
Пусть x литров молока было изначально во втором бидоне, тогда 4x литров молока было изначально в первом бидоне;
(4x − 10) литров молока осталось в первом бидоне;
(x + 10) литров молока стало во втором бидоне, а объем молока во втором бидоне составил
2/3 объема молока, оставшегося в первом бидоне.
Составим уравнение:
2/3 ( 4 x − 10 ) = x + 10
$\frac83x-\frac{20}3=x+10$
$\frac83x-x=\frac{20}3+10$
$\frac53x=\frac{50}3$
$x=\frac{50}3:\frac53$
$x=\frac{50}3\ast\frac35$
x = 10
Значит, 10 литров молока было изначально во втором бидоне;
4x = 4 * 10 = 40 (л) молока было изначально в первом бидоне.
Ответ: 40 л, 10 л.
Задание №496
Возведите в квадрат одночлен:
1) 2a;
2) a2;
3) 3 b3;
4) 7 x4;
5) 0,3x;
6) 0, 4 y5 z2;
7) 1/6 a2 b3 c4;
8) 1 1/3 m6 n.
Решение:
1) ( 2a )2 = 22 ∗ a2 = 4 a2
2) ( a2 )2 = a4
3) ( 3 b3 )2 = 32 ∗ ( b3 )2 = 9 b6
4) ( 7 x4 )2 = 72 ∗ ( x4 )2 = 49 x8
5) ( 0, 3 x )2 = 0, 32 ∗ x2 = 0, 09 x2
6) ( 0, 4 y5 z2 )2 = 0, 42 ∗ ( y5 )2 ∗ ( z2 )2 = 0, 16 ∗ y10 ∗ z4
7) $(\frac16a^2b^3c^4)^2=(\frac16)^2\ast(a^2)^2\ast(b^3)^2\ast(c^4)^2=\frac1{36}a^4b^6c^8$
8) $(1\frac13m^6n)^2=(\frac43)^2\ast(m^6)^2\ast n^2=\frac{16}9m^{12}n^2=1\frac79m^{12}n^2$
Задание №497
Запишите в виде выражения:
1) сумму чисел a и c;
2) разность чисел m и n;
3) произведение суммы чисел x и y и их разности;
4) квадрат разности чисел x и y;
5) разность квадратов чисел x и y.
Решение:
1) a + c
2) m − n
3) (x + y)(x − y)
4) ( x − y )2
5) x2 − y2
Задание №498
В турнире организованной по олимпийской системе (проигравший выбывает), участвовали n теннисистов. Какое количество матчей надо провести, чтобы определить победителя турнира.
Решение:
В каждом матче участвует 2 теннисиста и 1 из них выбывает.
Так как после каждого матча выбывает 1 теннисист, то необходимо n матчей (по количеству теннисистов), чтобы выбыли все теннисисты.
Но так как в турнире выбывают не все теннисисты, а остается 1 победитель, то необходимо провести n − 1 матч для выявления победителя.
Ответ: n - 1.
