Задание №452

Вынесите за скобки общий множитель:
1) ( 4 x − 4 y )2;
2) ( 18 a + 27 b )2;
3) ( 8 m − 10 n )3;
4) ( a2 − 9 a )2;
5) ( 16 x2 y + 40 x y2 )2;
6) ( 22 x4 − 28 x2 y3 )5.

Решение:

1) ( 4 x − 4 y )2 = 42 ( x − y )2 = 16 ( x − y )2

2) ( 18 a + 27 b )2 = 92 ( 2 a + 3 b )2

3) ( 8 m − 10 n )3 = 23 ( 4 m − 5 n )3 = 8 ( 4 m − 5 n )3

4) ( a2 − 9 a )2 = a2 ( a − 9 )2

5) ( 16 x2 y + 40 x y2 )2 = ( 8 x y )2 ( 2 x + 5 y )2 = 64 x2 y2 ( 2 x + 5 y )2

6) ( 22 x4 − 28 x2 y3 )5 = ( 2 x2 )5 ( 11 x2 − 14 y3 )5 = 32 x10 ( 11 x2 − 14 y3 )5

Задание №453

Докажите, что значение выражения:
1) 19 5 + 19 4 кратно 20;
2) 8 10 − 8 9 − 8 8 кратно 11;
3) 8 7 + 2 15 кратно 5;
4) 2 ∗ 3 2006 + 5 ∗ 3 2005 + 7 ∗ 3 2004 кратно 10;
5) 27 4 − 9 5 кратно 24;
6) 12 4 − 4 6 кратно 130.

Решение:

1) 195 + 194 = 194 ( 19 + 1 ) = 19420

2) 8 10 − 8 9 − 8 8 = 8 8 ( 8 2 − 8 − 1 ) = 8 8 ( 64 − 8 − 1 ) = 8 8 ∗ 55 = ( 8 8 ∗ 5 ) ∗ 11

3) 8 7 + 2 15 = ( 2 3 )7 + 2 15 = 2 21 + 2 15 = 2 15 ( 2 6 + 1 ) = 2 15 ( 64 + 1 ) = 2 15 ∗ 65 = ( 2 15 ∗ 13 ) ∗ 5

4) 2 ∗ 3 2006 + 5 ∗ 3 2005 + 7 ∗ 3 2004 = 3 2004 ( 2 ∗ 3 2 + 5 ∗ 3 + 7 ) = 3 2004 ( 18 + 15 + 7 ) = 3 2004 ∗ 40 = ( 3 2004 ∗ 4 ) ∗ 10

5) 27 4 − 9 5 = ( 3 3 )4 − ( 3 2 )5 = 3 12 − 3 10 = 3 10 ( 3 2 − 1 ) = 3 10 ( 9 − 1 ) = 3 10 ∗ 8 = 3 9 ∗ 3 ∗ 8 = 3 924

6) 12 4 − 4 6 = ( 3 ∗ 4 )4 − 4 6 = 3 4 ∗ 4 4 − 4 6 = 4 4 ( 3 4 − 4 2 ) = 4 4 ( 81 − 16 ) = 4 4 ∗ 65 = ( 2 2 )4 ∗ 65 = 2 8 ∗ 65 = 2 7 ∗ 2 ∗ 65 = 2 7130

Задание №454

Докажите, что значение выражения:
1) 25 25 − 25 24 делится нацело на 12;
2) 16 4 + 8 5 − 4 7 делится нацело на 10;
3) 36 5 + 6 9 делится нацело на 42;
4) 10 5 − 5 7 делится нацело на 7.

Решение:

1) 25 25 − 25 24 = 25 24 ( 25 − 1 ) = 25 24 ∗ 24 = ( 25 24 ∗ 2 ) ∗ 12

2) 16 4 + 8 5 − 4 7 = ( 2 4 )4 + ( 2 3 )5 − ( 2 2 )7 = 2 16 + 2 15 − 2 14 = 2 14 ( 2 2 + 2 − 1 ) = 2 14 ∗ 5 = 2 13 ∗ 2 ∗ 5 = 2 1310

3) 36 5 + 6 9 = ( 6 2 )5 + 6 9 = 6 10 + 6 9 = 6 9 ( 6 + 1 ) = 6 9 ∗ 7 = 6 8 ∗ 6 ∗ 7 = 6 842

4) 10 5 − 5 7 = ( 2 ∗ 5 )5 − 5 7 = 2 5 ∗ 5 5 − 5 7 = 5 5 ( 2 5 − 5 2 ) = 5 5 ( 32 − 25 ) = 5 57

Задание №455

Докажите, что если:
1) a + b = 2, то a 2 b + a b2 − 2 a b = 0;
2) 3a + 4b = −2, то 12 a3 b + 16 a2 b2 + 32 a2 b = 24 a2 b.

Решение:

1) a2 b + a b2 − 2 a b = 0
ab(a + b − 2) = 0
ab((a + b) − 2) = 0
ab(2 − 2) = 0
ab * 0 = 0
0 = 0

2) 12 a3 b + 16 a2 b2 + 32 a2 b = 24 a2 b
4 a2 b ( 3 a + 4 b + 8 ) = 24 a2 b
4 a2 b ( ( 3 a + 4 b ) + 8 ) = 24 a2 b
4 a2 b ( − 2 + 8 ) = 24 a2 b
6 ∗ 4 a2 b = 24 a2 b
24 a2 b = 24 a2 b

Задание №456

Докажите, что если:
1) a + b + с = 0, то a3 b3 c2 + a2 b4 c2 + a2 b3 c3 = 0;
2) a2 − b2 = 2 a b + 1, то a6 b4 − 2 a5 b5 − a4 b6 = a4 b4.

Решение:

1) a3 b3 c2 + a2 b4 c2 + a2 b3 c3 = 0
a2 b3 c2 ( a + b + c ) = 0
a2 b3 c2 ∗ 0 = 0
0 = 0

2) a6 b4 − 2 a5 b5 − a4 b6 = a4 b4
a4 b4 ( a2 − 2 a b − b2 ) = a4 b4
a4 b4 ( ( a2 − b2 ) − 2 a b ) = a4 b4
a4 b4 ( 2 a b + 1 − 2 a b ) = a4 b4
a4 b4 ∗ 1 = a4 b4
a4 b4 = a4 b4

Задание №457

Решите уравнение:
1) 8 x2 − 3 ( x − 4 ) = 12;
2) 5 x3 − x ( 2 x − 3 ) = 3 x;
3) 4 x − 0, 2 x ( x + 20 ) = x 3;
4) 9x(x − 3) + (x − 4)(x − 5) = 20.

Решение:

1) 8 x2 − 3 ( x − 4 ) = 12
8 x2 − 3 x + 12 = 12
8 x2 − 3 x = 12 − 12
8 x2 − 3 x = 0
x ( 8 x − 3 ) = 0
x1 = 0 : ( 8 x − 3 )
x1 = 0;
8 x2 − 3 = 0 : x
8 x2 − 3 = 0
8 x2 = 3
x2 = 3/8.

2) 5 x3 − x ( 2 x − 3 ) = 3 x
5 x3 − 2 x2 + 3 x = 3 x
5 x3 − 2 x2 + 3 x − 3 x = 0
5 x3 − 2 x2 = 0
x2 ( 5 x − 2 ) = 0
x2 = 0 : ( 5 x − 2 )
x2 = 0
x1 = 0;
5 x2 − 2 = 0 : x2
5 x2 − 2 = 0
5 x2 = 2
x2 = 2/5.

3) 4 x − 0, 2 x ( x + 20 ) = x3
4 x − 0, 2 x2 − 4 x = x3
− 0, 2 x2 = x3
− x3 − 0, 2 x2 = 0
− x2 ( x + 0, 2 ) = 0
− x2 = 0 : ( x + 0, 2 )
− x2 = 0
x1 = 0;
x2 + 0, 2 = 0 : ( − x2 )
x2 + 0, 2 = 0
x2 = − 0, 2.

4) 9x(x − 3) + (x − 4)(x − 5) = 20
9 x2 − 27 x + x2 − 4 x − 5 x + 20 = 20
10 x2 − 36 x = 20 − 20
2 x ( 5 x − 18 ) = 0
2 x1 = 0 : ( 5 x − 18 )
2 x1 = 0
x1 = 0;
5 x2 − 18 = 0 : 2 x
5 x2 − 18 = 0
5 x2 = 18
x2 = 18 : 5
x2 = 3, 6.

Задание №458

Найдите корни уравнения:
1) (3x − 2)(3x + 2) − (2x − 5)(8x − 3) = 4x − 19;
2) 1/3 ( 12 + x3 ) = 1/9 x2 + 4.

Решение:

1) (3x − 2)(3x + 2) − (2x − 5)(8x − 3) = 4x − 19
9 x2 − 6 x + 6 x − 4 − ( 16 x2 − 40 x − 6 x + 15 ) = 4 x − 19
9 x2 − 6 x + 6 x − 4 − 16 x2 + 40 x + 6 x − 15 − 4 x = − 19
− 7 x2 + 42 x = − 19 + 4 + 15
− 7 x ( x − 6 ) = 0
− 7 x1 = 0 : ( x − 6 )
− 7 x1 = 0
x1 = 0;
x − 6 = 0 : ( − 7 x )
x − 6 = 0
x2 = 6.

2) 1/3 ( 12 + x3 ) = 1/9 x2 + 4
4 + 1/3 x3 = ( 1/3 )2 x2 + 4
1/3 x3 − ( 1/3 )2 x2 = 4 − 4
1/3 x2 ( x − 1/3 ) = 0
1/3 x2 = 0 : ( x − 1/3 )
1/3 x2 = 0
x2 = 0
x1 = 0;
x2 − 1/3 = 0 : 1 3 x2
x2 − 1/3 = 0
x2 = 1/3.

Задание №459

Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:
1) (a − 1)(a + 2) − (a − 2)(a + 2) + (a − 3)(a + 2) − (a − 4)(a + 2);
2) ( 3 a − 2 ) ( 5 b2 − 4 b + 10 ) + ( 2 − 3 a ) ( 5 b2 − 6 b + 10 );
3) ( 4 a − 7 b ) ( 2 a2 − 4 a b + b2 ) − ( 4 a − 7 b ) ( 2 a2 − 4 a b − b2 ).

Решение:

1) (a − 1)(a + 2) − (a − 2)(a + 2) + (a − 3)(a + 2) − (a − 4)(a + 2) = (a + 2)((a − 1) − (a − 2) + (a − 3) − (a − 4)) = (a + 2)(a − 1 − a + 2 + a − 3 − a + 4) = (a + 2) * 2 = 2a + 4

2) ( 3 a − 2 ) ( 5 b2 − 4 b + 10 ) + ( 2 − 3 a ) ( 5 b2 − 6 b + 10 ) = ( 3 a − 2 ) ( 5 b2 − 4 b + 10 ) − ( 3 a − 2 ) ( 5 b2 − 6 b + 10 ) = ( 3 a − 2 ) ( 5 b2 − 4 b + 10 − 5 b2 + 6 b − 10 ) = ( 3 a − 2 )2 b = 6 a b − 4 b

3) ( 4 a − 7 b ) ( 2 a2 − 4 a b + b2 ) − ( 4 a − 7 b ) ( 2 a2 − 4 a b − b2 ) = ( 4 a − 7 b ) ( ( 2 a2 − 4 a b + b2 ) − ( 2 a2 − 4 a b − b2 ) ) = ( 4 a − 7 b ) ( 2 a2 − 4 a b + b2 − 2 a2 + 4 a b + b2 ) = ( 4 a − 7 b )2 b2 = 8 a b2 − 14 b 3

Задание №460

Упростите выражение, используя вынесение общего множителя за скобки:
1) a b ( a2 + a b + b2 ) − a b ( a2 − a b + b2 );
2) (a + b)(a + 1) − (a + b)(1 − b) + (b + a)(b − a).

Решение:

1) a b ( a2 + a b + b2 ) − a b ( a2 − a b + b2 ) = a b ( ( a2 + a b + b2 ) − ( a2 − a b + b2 ) ) = a b ( a2 + a b + b2 − a2 + a b − b2 ) = a b ∗ 2 a b = 2 a2 b2

2) ( a + b ) ( a + 1 ) − ( a + b ) ( 1 − b ) + ( b + a ) ( b − a ) = ( a + b ) ( ( a + 1 ) − ( 1 − b ) + ( b − a ) ) = ( a + b ) ( a + 1 − 1 + b + b − a ) = ( a + b )2 b = 2 a b + 2 b 2

Задание №461

Решите уравнение

4 x2 − 1, 2 x = a, если один из его корней равен 0,3.

Решение:

4 x2 − 1, 2 x = a
x ( 4 x − 1, 2 ) = a
Пусть x = 0,3, тогда:
0, 3 ∗ ( 4 ∗ 0, 3 − 1, 2 ) = a
0, 3 ∗ ( 1, 2 − 1, 2 ) = a
0, 3 ∗ 0 = a
a = 0.
x ( 4 x − 1, 2 ) = 0
x1 = 0 : ( 4 x − 1, 2 )
x1 = 0;
4 x2 − 1, 2 = 0 : x
4 x2 − 1, 2 = 0
4 x2 = 1, 2
x2 = 1, 2 : 4
x2 = 0, 3.

Задание №462

Решите уравнение

5 x2 + 8 x = a, если один из его корней равен −1,6.

Решение:

5 x2 + 8 x = a
x(5x + 8) = a
Пусть x = −1,6, тогда:
− 1, 6 ∗ ( 5 ∗ ( − 1, 6 ) + 8 ) = a
− 1, 6 ∗ ( − 8 + 8 ) = a
− 1, 6 ∗ 0 = a
a = 0.
x ( 5 x + 8 ) = 0
x1 = 0 : ( 5 x + 8 )
x1 = 0;
5 x2 + 8 = 0 : x
5 x2 + 8 = 0
5 x2 = − 8
x2 = − 8/5
x2 = − 1, 6.