Ответы к странице 57 №278-286 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Задание № 278

Представьте одночлен 64 a⁶ b¹² в виде:
1) произведения двух одночленов, один из которых равен 2 a² b⁸;
2) квадрата одночлена стандартного вида;
3) куба одночлена стандартного вида.

Решение:

1) 64 a⁶ b¹² : 2 a² b⁸ = 32 a⁴ b⁴, следовательно:
64 a⁶ b¹² = 2 a² b⁸ ∗ 32 a⁴ b⁴.

2) 64 a⁶ b¹² = ( 8 a³ b⁶ )² или 64 a⁶ b¹² = ( − 8 a³ b⁶ )²

3) 64 a⁶ b¹² = ( 4 a² b⁴ )³

Задание № 279

Представьте одночлен

81 m ⁴ n ¹⁶ в виде:
1) произведения двух одночленов, один из которых равен − 1/3 m n¹⁴;
2) квадрата одночлена стандартного вида;
3) четвертой степени одночлена стандартного вида.

Решение:

1) $81m^4n^{16}:-\frac13mn^{14}=(-243m^3n^2)$, следовательно:
$81m^4n^{16}=-\frac13mn^{14}\ast(-243m^3n^2)$.

2) 81 m⁴ n¹⁶ = ( 9 m² n⁸ )² или 81 m⁴ n¹⁶ = ( − 9 m² n⁸ )²

3) 81 m⁴ n¹⁶ = ( 3 m n⁴ )⁴ или 81 m⁴ n¹⁶ = ( − 3 m n⁴ )⁴

Задание № 280

Упростите выражение:
1) 2 a ³ ∗ ( − 5 a ⁴ b ⁵ ) ²;
2) ( − x ⁶ y ) ³ ∗ 11 x ⁴ y ⁵;
3) ( − 0,6 a ³ b ⁵ c ⁶ ) ² ∗ 3 a ² c ⁸;
4) − 1 3/11 m ⁴ n ⁹ ∗ ( − 1/7 m n ³ ) ²;
5) 1 7/9 x ⁷ y ² ∗ ( 3/4 x ² y ⁹ ) ⁴;
6) − ( − 2 c ² d ⁵ ) ⁷ ∗ ( − 1/2 c ⁴ d ⁵ ) ⁴.

Решение:

1) $2a^3\ast(-5a^4b^5)^2=2a^3\ast25a^8b^{10}=50a^{11}b^{10}$

2) $(-x^6y)^3\ast11x^4y^5=(-1)^3x^{18}y^3\ast11x^4y^5=-11x^{22}y^8$

3) $(-0,6a^3b^5c^6)^2\ast3a^2c^8=0,36a^6b^{10}c^{12}\ast3a^2c^8=1,08a^8b^{10}c^{20}$

4) $-1\frac3{11}m^4n^9\ast(-\frac17mn^3)^2=-\frac{14}{11}m^4n^9\ast\frac1{49}m^2n^6=(-\frac{14}{11}\ast\frac1{49})m^6n^{15}=(-\frac2{11}\ast\frac17)m^6n^{15}=-\frac2{77}m^6n^{15}$

5) $1\frac79x^7y^2\ast(\frac34x^2y^9)^4=\frac{16}9x^7y^2\ast\frac{81}{256}x^8y^{36}=(\frac{16}9\ast\frac{81}{256})x^{15}y^{38}=(\frac11\ast\frac9{16})x^{15}y^{38}=\frac9{16}x^{15}y^{38}$

6) $-(-2c^2d^5)^7\ast(-\frac12c^4d^5)^4=-(-128c^{14}d^{35})\ast\frac1{16}c^{16}d^{20}=128c^{14}d^{35}\ast\frac1{16}c^{16}d^{20}=8c^{30}d^{55}$

Задание № 281

Упростите выражение:
1) 20 a ⁸ ∗ ( 9 a ) ²;
2) ( − b ⁵ ) 4 ∗ 12 b ⁶;
3) ( 3 m ⁶ n ³ ) ⁴ ∗ ( − 1/81 m ⁹ n );
4) ( 0,2 x ⁷ y ⁸ ) ³ ∗ 6 x ² y ²;
5) ( − 1/2 a b ⁴ ) ³ ∗ ( 4 a ⁶ ) ²;
6) ( − 2/3 x ² y ) ⁵ ∗ ( − 3/4 x y ² ) ².

Решение:

1) $20a^8\ast(9a)^2=20\ast a^8\ast9^2\ast a^2=20\ast81\ast a^{10}=1620a^{10}$

2) $(-b^5)^4\ast12b^6=(-b)^{20}\ast12b^6=-12b^{26}$

3) $(3m^6n^3)^4\ast(-\frac1{81}m^9n)=3^4m^{24}n^{12}\ast(-\frac1{81}m^9n)=(81\ast-\frac1{81})m^{33}n^{13}=-m^{33}n^{13}$

4) $(0,2x^7y^8)^3\ast6x^2y^2=0,008x^{21}y^{24}\ast6x^2y^2=0,048x^{23}y^{26}$

5) $(-\frac12ab^4)^3\ast(4a^6)^2=(-\frac18)a^3b^{12}\ast16a^{12}=-2a^{15}b^{12}$

6) $(-\frac23x^2y)^5\ast(-\frac34xy^2)^2=(-\frac{32}{243})x^{10}y^5\ast(-\frac9{16})x^2y^4=(-\frac{32}{243}\ast\frac9{16})x^{12}y^9=(-\frac2{27}\ast\frac11)x^{12}y^9=-\frac2{27}x^{12}y^9$

Задание № 282

Замените звездочки такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:
1) ( ∗ ) ² • ( ∗ ) ³ = 9 a ² b ³ c ⁵;
2) ( ∗ ) ³ • ( ∗ ) ⁴ = 16 a ⁷ b ⁶ c ⁸;
3) ( ∗ ) ³ • ( ∗ ) ² = − 72 m ⁸ n ¹¹;
4) ( ∗ ) ² • ( ∗ ) ⁵ = 32 x ²⁹ y ²¹ z ⁹.

Решение:

1) $(3ac)^2\ast(bc)^3=9a^2c^2\ast b^3c^3=9a^2b^3c^5$

2) $(ab^2)^3\ast(2ac^2)^4=a^3b^6\ast16a^4c^8=16a^7b^6c^8$

3) $(-2n^3)^3\ast(3m^4n)^2=-8n^9\ast9m^8n^2=-72m^8n^{11}$

4) $(x^2y^3z^2)^2\ast(2x^5y^3z)^5=x^4y^6z^4\ast32x^{25}y^{15}z^5=32x^{29}y^{21}z^9$

Задание № 283

Значения переменных x и y таковы, что

5 x ² y ⁴ = 6. Найдите значение выражения:
1) 1,5 x ² y ⁴;
2) 25 x ⁴ y ⁸;
3) − 25 x ⁶ y ¹².

Решение:

1) 5 x² y⁴ = 6
    x² y⁴ = 6 : 5
    x² y⁴ = 1,2, тогда:
    1,5 x² y⁴ = 1 , 5 ∗ 1 , 2
    1,5 x² y⁴ = 1 , 8

2) 25 x⁴ y⁸ = ( 5 x² y⁴ ) 2 = 6² = 36

3) 5 x² y⁴ = 6
    x² y⁴ = 6 : 5
    x² y⁴ = 1 , 2, тогда:
   − 25 x⁴ y⁸ = − ( 5 x² y⁴ )² ∗ x² y⁴ = − ( 6 ∗ 6 ) ∗ 1 , 2 = − 36 ∗ 1 , 2 = − 43 , 2

Задание № 284

Значения переменных a и b таковы, что

3 a b ³ = 4. Найдите значение выражения:
1) − 1,2 a b ³;
2) 27 a ³ b ⁹;
3) − 2/3 a ² b ⁶.

Решение:

1) 3 a b³ = 4
a b³ = 4/3, тогда:
$-1,2ab^3=-1,2\ast\frac43=-\frac65\ast\frac43=-\frac25\ast\frac41=-\frac85=-1,6$

2) 27 a³ b⁹ = ( 3 a b³ )³ = 4³ = 64

3) 3 a b³ = 4
a b³ = 4/3, тогда:
$-\frac23a^2b^6=-\frac23\ast(ab^3)^2=-\frac23\ast(\frac43)^2=-\frac23\ast\frac{16}9=-\frac23\ast\frac{16}9=-\frac{32}{27}=-\frac5{27}$

Задание № 285

Значения переменных a, b и c таковы, что

2 a ² b = 7,   a ³ c ² = 2. Найдите значение выражения:
1) 6 a ⁵ b c ²;
2) a ⁷ b ² c ²;
3) 2 1/7 a ⁸ b c ⁴.

Решение:

1) 2 a² b = 7
a² b = 7/2;
a³ c² = 2, тогда:
6 a⁵ b c² = 6 ∗ a² b ∗ a³ c² = 6 ∗ 7/2 ∗ 2 = 6 ∗ 7 = 42

2) 2 a² b = 7
a² b = 7/2;
a³ c² = 2, тогда:
a⁷ b² c² = a² b ∗ a² b ∗ a³ c² = 7/2 ∗ 7/2 ∗ 2 = 49/2 = 24,5

3) 2 a² b = 7
a² b = 7/2;
a³ c² = 2, тогда:
$2\frac17a^8bc^4=\frac{15}7\ast a^2b\ast a^3c^2\ast a^3c^2=\frac{15}7\ast\frac72\ast2\ast2=15\ast2=30$

Задание № 286

Значения переменных m, n и p таковы, что

m ³ n ² = 3 , 1/3 n ³ p ² = 5. Найдите значение выражения:
1) m ³ n ⁵ p ²;
2) 2 m ³ n ⁸ p ⁴;
3) − 0,4 m ¹² n ¹¹ p ².

Решение:

1) m³ n² = 3;
    1/3 n³ p² = 5
    n³ p² = 5 : 1/3
    n³ p² = 15, тогда:
    m³ n⁵ p² = m³ n² ∗ n³ p² = 3 ∗ 15 = 45

2) m³ n² = 3;
    1/3 n³ p² = 5
    n³ p² = 5 : 1/3
    n³ p² = 15, тогда:
    2 m³ n⁸ p⁴ = 2 ∗ m³ n² ∗ ( n³ p² )² = 2 ∗ 3 ∗ 15² = 6 ∗ 225 = 1350

3) m³ n² = 3;
    1/3 n³ p² = 5
    n³ p² = 5 : 1/3
    n³ p² = 15, тогда:
    $-0,4m^{12}n^{11}p^2=-0,4\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast m^3n^2\ast n^3p^2=-0,4\ast3\ast3\ast3\ast3\ast15=-0,4\ast81\ast15=32,4\ast15=486$