Задание 221

Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника):

1) $2^3\ast2^4=2^{3+4}=2^7=128$

2) $(3^2)^3=3^{2\ast3}=3^6=729$

3) $0,2\ast0,2^2\ast0,2^3=0,2^{1+2+3}=0,2^6=0,000064$

4) $0,5^{12}\ast2^{12}=(0,5\ast2)^{12}=1^{12}=1$

5) $2^{12}:2^8=2^{12-8}=2^4=16$

6) $(3^4)^5:3^{19}=3^{4\ast5}\ast3^{19}=3^{20}:3^{19}=3^{20-19}=3^1=3$

7) $(\frac13)^9\ast9^9=(\frac13\ast9)^9=3^9=19683$

8) $2,5^5\ast40^5=(2,5\ast40)^5=100^5=10000000000$

Задание 222

Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3, расположенной на форзаце учебника):

1) $2^2\ast2^3=2^{2+3}=2^5=32$

2) $(2^2)^3=2^{2\ast3}=2^6=64$

3) $3^2\ast3\ast3^3=3^{2+1+3}=3^6=729$

4) $0,3^8:0,3^5=0,3^{8-5}=0,3^3=0,027$

5) $7^9\ast(\frac1{14})^9=(7\ast\frac1{14})^9=(\frac12)^9=\frac1{512}$

6) $12,5^3\ast8^3=(12,5\ast8)^3=100^3=1000000$

Задание 223

Найдите в данных примерах ошибки:

1) $a^4a^3=a^{12}$
$a^4a^3=a^{4+3}=a^7\neq a^{12}$

2) $a\ast a=2a$
$a\ast a=a^{1+1}=a^2\neq2a$

3) $(a^3)^2=a^9$
$(a^3)^2=a^{3\ast2}=a^6\neq a^9$

4) $3^2\ast5^2=15^4$
$3^2\ast5^2=(3\ast5)^2=15^2\neq15^4$

5) $2^2\ast7^3=14^5$
$2^2\ast7^3=(2\ast7)^2\ast7=14^2\ast7\neq14^5$

6) $(2a)^4=8a^4$
$2^4\ast a^4=16a^4\neq8a^4$

7) $3\ast4^3=12^3$
$3\ast64\neq12^3$

8) $a^7b^7=(ab)^{14}$
$a^7b^7=(ab)^7\neq(ab)^{14}$

9) $a^3b^2=(ab)^6$
$a^3b^2=a\ast a^2b^2=a\ast(ab)^2\neq(ab)^6$

Задание 224

Вместо звездочки запишите такое выражение, чтобы выполнялось равенство:
1) ( ∗ )$^4$ = с$^{20}$;
2) ( ∗ )$^2$ = с$^{14}$;
3) ( ∗ )$^n$ = с$^{8n}$;
4) ( ∗ )$^7$ = с$^{7n}$, где n − натуральное число.

Решение

1) 20 : 4 = 5, следовательно:
$(c^5)^4=c^{20}$.

2) 14 : 2 = 7, следовательно:
$(c^7)^2=c^{14}$.

3) 8n : n = 8, следовательно:
$(c^8)^n=c^{8n}$.

4) 7n : 7 = n, следовательно:
$(c^n)^7=c^{7n}$.

Задание 225

Представьте степень a$^7$ в виде произведения двух степеней с основанием a всеми возможными способами.

Решение

$a^7=a^{1+6}=a\ast a^6$
$a^7=a^{2+5}=a^2\ast a^5$
$a^7=a^{3+4}=a^3\ast a^4$

Задание 226

Представьте в виде степени выражение:

1) $a^na^5=a^{n+5}$

2) $aa^n=a^{1+n}$

3) $a^3a^n=a^{3+n}$

4) $(a^3)^n=a^{3n}$

5) $(a^n)^2\ast(a^5)^n=a^{2n+5n}=a^{7n}$

Задание 227

Представьте в виде степени выражение:
1) 2$^4$ ∗ 2$^4$;
2) 2$^4$ + 2$^4$;
3) 2$^n$ ∗ 2$^n$;
4) 2$^n$ + 2$^n$, где натуральное число.

Решение

1) $2^4\ast2^4=2^{4+4}=2^8$

2) $2^4+2^4=2\ast2^4=2^{1+4}=2^5$

3) $2^n\ast2^n=2^{n+n}=2^{2n}$

4) $2^n+2^n=2\ast2^n=2^{1+n}$

Задание 228

Представьте в виде степени выражение:
1) 3$^5$ + 3$^5$ + 3$^5$;
2) 4$^k$ + 4$^k$ + 4$^k$ + 4$^k$, где k − натуральное число.

Решение

1) $3^5+3^5+3^5=3\ast3^5=3^{1+5}=3^6$

2) $4^k+4^k+4^k+4^k=4\ast4^k=4^{k+1}$

Задание 229

Докажите, что если сторону квадрата увеличить в n раз, то его площадь увеличится в n$^2$ раз.

Решение

$S_{квадрата}=a\ast a=a^2$ , после увеличения сторона квадрат стала равна n * a, тогда:
$S_{квадрата}=na\ast na=(na)^2=n^2\ast a^2$ следовательно:
$\frac{n^2\ast a^2}{a^2}=n^2$

Задание 230

Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в m раз?

Решение

$V_{куба}=a\ast a\ast a=a^3$ , после увеличения ребро куба стало равно m * a, тогда:
$V_{куба}=ma\ast ma\ast ma=(ma)^3=m^3\ast a^3$ , следовательно:
$\frac{m^3\ast a^3}{a^3}=m^3$ , следовательно объем куба увеличится в $m^3$ раз.

Задание 231

Запишите в виде степени с показателем 2 выражение:

1) $a^2b^6=a^2\ast(b^3)^2=(ab^3)^2$

2) $x^8y^{14}=(x^4)^2\ast(y^7)^2=(x^4y^7)^2$

3) $x^4y^{10}z^{18}=(x^2)^2\ast(y^5)^2\ast(z^9)^2=(x^2y^5z^9)^2$

4) $4m^{12}n^{16}=2^2\ast(m^6)^2\ast(n^8)^2=(2m^6n^8)^2$

5) $81{\operatorname с}^{10}d^{32}p^{44}=9^2\ast({\operatorname с}^5)^2\ast(d^{16})^2\ast(p^{22})^2=(9{\operatorname с}^5d^{16}p^{22})^2$

Задание 232

Запишите в виде степени с показателем 3 выражение:

1) $a^3b^6=a^3\ast(b^2)^3=(ab^2)^3$

2) $x^9y^{15}=(x^3)^3\ast(y^5)^3=(x^3y^5)^3$

3) $8x^{12}y^{18}z^{24}=2^3\ast(x^4)^3\ast(y^6)^3\ast(z^8)^3=(2x^4y^6z^8)^3$

4) $0,001m^{30}n^{45}=0,1^3\ast(m^{10})^3\ast(n^{15})^3=(0,1m^{10}n^{15})^3$