Задание 127

Заполните таблицу, вычислив значение выражения −3x + 2 для данных значений x.

Решение

При x = −4
−3x + 2 = −3 * −4 + 2 = 12 + 2 = 14
При x = −3
−3x + 2 = −3 * −3 + 2 = 9 + 2 = 11
При x = −2
−3x + 2 = −3 * −2 + 2 = 6 + 2 = 8
При x = −1
−3x + 2 = −3 * −1 + 2 = 3 + 2 = 5
При x = 0
−3x + 2 = −3 * 0 + 2 = 0 + 2 = 2
При x = 1
−3x + 2 = −3 * 1 + 2 = −3 + 2 = −1
При x = 2
−3x + 2 = −3 * 2 + 2 = −6 + 2 = −4
При x = 3
−3x + 2 = −3 * 3 + 2 = −9 + 2 = −7
При x = 4
−3x + 2 = −3 * 4 + 2 = −12 + 2 = −10

Задание 128

Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 37, чтобы полученное число делилось нацело на 6?

Решение ©

Число нацело делится на 6, если оно оканчивается на четную цифру, а сумма цифр этого числа делится на 3
3 + 7 = 10. Ближайшее четное число, которое делится нацело на 3 - это 12. Четное, потому что нам нужно его делить на 2, так как 2 цифры - в начале и в конце. Тогда нужно приписать по единице, но в этом случае получится нечетное число, значит 1 не подходит.
Следующее четное число, которое делится на 3 - это 18.
18 - 10 = 8
8 : 2 = 4  Число четное, значит подходит.
Следующее число 24.
24 - 10 = 14
14 : 2 = 7 - нечетное, не подходит.
При подстановке бОльших чисел не получится однозначного числа, перебор можно закончить.
Ответ: чтобы число нацело делилось на 6, к числу 37 слева и справа надо приписать цифру 4.

Задание 129

Имеет ли корни уравнение:
1) $x^2$ = 0;
2) $x^2$ = −1;
3) |x| = x;
4) |x| = −x?

Решение

1) $x^2$ = 0
x = 0
уравнение имеет один корень

2) $x^2$ = -1
уравнение не имеет корней, поскольку квадрат любого числа имеет положительное значение.

3) |x| = x
модуль числа не может быть отрицательным, значит
x ≥ 0

4) |x| = −x,
модуль числа не может быть отрицательным, значит
x < 0

Задание 130

Может ли быть целым числом значение выражения:
1) 1/x;
2) x / x+1?

Решение

1) $\frac1x$
Да, значение выражения может быть целым числом при x = ±1 и при х равном правильной дроби с числителем ±1.

2) $\frac x{x+1}$
Да.
Значение выражения может быть целым числом, если числитель будет делиться нацело на знаменатель. А при разнице в единицу из целых чисел такое возможно только для х = -2.
Рассмотрим дробные числа. Если х будет отрицательной правильной дробью с разницей в числителе и знаменателе в единицу, то знаменатель будет равен (1 - модуль дроби) и в нем получится дробь с числителем 1, при делении числителя на которую получается целое число. Пример:
 х = −$\frac {1}{2}$
$\frac{\displaystyle-\frac12}{\displaystyle-\frac12+1}=\frac{\displaystyle-\frac12}{\displaystyle\frac12}=-\frac12\ast\frac21=1$

Задание 131

Найдите все натуральные значения n, при которых значение каждого из выражений n − 2, n + 24, n + 26 является простым числом.

Решение

Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79...
Рассмотрим попарные разности данных выражений.
(n + 26) − (n − 2) = 28;
(n + 26) − (n + 24) = 22;
(n + 24) − (n − 2) = 26.
Среди полученных разностей нет числа, кратного 3. Это означает, что при любом натуральном n значения данных выражений имеют разные остатки при делении на 3. Таким образом, одно из указанных значений кратно 3. Тогда значения выражений n − 2, n + 24, n + 26 могут быть простыми числами, если одно из них равно 3. Ясно, что возможен лишь случай, когда n − 2 = 3. Отсюда n = 5.
Проверка показывает, что при n = 5 значения выражений n + 24 и n + 26 — простые числа.
Ответ: 5.