Задание 61
При каком значении a уравнение:
1) ax = 6;
2) (3 − a)x = 4;
3) (a − 2)x = a + 2 не имеет корней?
Решение
1) при a = 0 уравнение не имеет корней, так как:
ax = 6
0x = 6
0 ≠ 6
2) при a = 3 уравнение не имеет корней, так как:
(3 − a)x = 4
(3 − 3)x = 4
0 ≠ 4
3) при a = 2 уравнение не имеет корней, так как:
(a − 2)x = a + 2
(2 − 2)x = 2 + 2
0 ≠ 4
Задание 62
При каком значении a любое число является корнем уравнения:
1) ax = a;
2) (a − 2)x = 2 − a;
3) a(a + 5)x = a + 5?
Решение
1) при a = 0 любое число является корнем уравнения, так как:
ax = a
0x = 0
0 = 0
2) при a = 2 любое число является корнем уравнения, так как:
(a − 2)x = 2 − a
(2 − 2)x = 2 − 2
0 = 0
3) при a = −5 любое число является корнем уравнения, так как:
a(a + 5)x = a + 5
−5(−5 + 5)x = −5 + 5
−5 * 0 = 0
0 = 0
Задание 63
При каких значениях a уравнение:
1) (a − 5)x = 6;
2) (a + 7)x = a + 7 имеет единственный корень?
Решение
1) (a − 5)x = 6
х = 6 : (a − 5)
Делитель не может быть равен 0.
Значит, при любых значениях a, кроме a = 5, уравнение имеет единственный корень.
2) (a + 7)x = a + 7
х = (a + 7) : (а + 7)
Делитель не может быть равен 0.
Значит, при любых значениях a, кроме a = −7, уравнение имеет единственный корень.
Задание 64
Решите уравнение:
1) (b + 1)x = 9;
2) $(b^2+1)x=-4$.
Решение
1) (b + 1)x = 9
при b = −1, уравнение не имеет корней, в остальных случаях:
$x=\frac9{b+1}$
2) $(b^2+1)x=-4$
$x=-\frac4{b^2+1}$
Задание 65
Решите уравнение (m + 8)x = m + 8.
Решение
(m + 8)x = m + 8
При m = −8 корнем уравнения может быть любое число, так как:
(−8 + 8)x = −8 + 8
0 = 0, в остальных случаях:
$x=\frac{m+8}{m+8}$
x = 1
Задание 66
Каким выражением можно заменить звездочку в равенстве 6x + 8 = 4x + *, чтобы получилось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень?
Решение
6x + 8 = 4x + *
1) * = 2x, тогда:
6x + 8 = 4x + 2x
6x − 4x − 2x = −8
0x = −8
0 ≠ −8
корней нет
2) * = 2x + 8 тогда:
6x + 8 = 4x + 2x + 8
6x − 4x − 2x = 8 − 8
0 = 0
уравнение имеет бесконечно много корней.
3) * = 4x тогда:
6x + 8 = 4x + 4x
6x − 4x − 4x = −8
−2x = −8
x = −8 : −2
x = 4
уравнение имеет один корень.
Задание 67
В равенстве 2(1,5x − 0,5) = 7x + * замените звездочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:
1) не имело корней;
2) имело бесконечно много корней;
3) имело один корень.
Решение
1) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = − 4x, тогда:
3x − 1 = 7x − 4x
3x − 7x + 4x = 1
0x = 1
0 ≠ 1
корней нет
2) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = − 4x − 1, тогда:
3x − 1 = 7x − 4x − 1
3x − 7x + 4x = −1 + 1
0x = 0
0 = 0
уравнение имеет бесконечное множество корней
3) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = 1, тогда:
3x − 1 = 7x + 1
3x − 7x = 1 + 1
−4x = 2
x = 2 : −4
x = −1/2
уравнение имеет один корень.
Задание 68
Решите уравнение:
1) |x| + 3x = 12;
2) |x| − 4x = 9;
3) 2(x − 5) − 6|x| = −18.
Решение
1) |x| + 3x = 12
x ≥ 0:
x + 3x = 12
4x = 12
x = 12 : 4
x = 3
x < 0:
−x + 3x = 12
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6.
Ответ: х = {3;6}
2) |x| − 4x = 9
x ≥ 0:
x − 4x = 9
−3x = 9
x = 9 : −3
x = −3
x < 0:
−x − 4x = 9
−5x = 9
$x=-\frac95$
$x=-1\frac45$
Ответ: х = {-3;$-1\frac45$}
3) 2(x − 5) − 6|x| = −18
x ≥ 0:
2x − 10 − 6x = −18
2x − 6x = −18 + 10
−4x = −8
x = −8 : −4
x = 2
x < 0:
2x − 10 + 6x = −18
2x + 6x = −18 + 10
8x = −8
x = −8 : 8
x = −1
Ответ: х = {2;-1}
Задание 69
Решите уравнение:
1) 2x − |x| = −1;
2) 7|x| − 3(x + 2) = −10.
Решение
1) 2x − |x| = −1
x ≥ 0:
2x − x = −1
x = −1
x < 0:
2x + x = −1
3x = −1
$x=-\frac13$
Ответ: х = {-1;$-\frac13$}
2) 7|x| − 3(x + 2) = −10
x ≥ 0:
7x − 3x − 6 = −10
7x − 3x = −10 + 6
4x = −4
x = −4 : 4
x = −1
x < 0:
−7x − 3x − 6 = −10
−7x − 3x = −10 + 6
−10x = −4
x = −4 : −10
x = 0,4.
Ответ: х = {-1;0,4}
Задание 70 ©
При каких целых значениях a корень уравнения:
1) x − 2 = a;
2) x + 7a = 9;
3) 2x − a = 4;
4) x + 2a = 3 является целым числом, которое делится нацело на 2?
Решение
1)
x − 2 = a
x = а + 2
При а = {...-4; -2; 0; 2; 4; 6...} х является целым числом, которое делится нацело на 2.
2)
x + 7a = 9
x = 9 + 7а
Чтобы делилось на 2 нацело, к 9 нужно прибавить нечетное число.
При а = {... -3; -1; 1; 3; 5; 7;...} х является целым числом, которое делится нацело на 2.
3)
2x − a = 4
2x = 4 + а
x = (4 + а) : 2
Числитель должен быть четным числом.
При а = {...-8; -4; 0; 2; 4; 6; 8...} х является целым числом, которое делится нацело на 2.
4)
x + 2a = 3
x = 3 − 2а
При любых целых значениях а не удастся получить 2а, равное нечетному числу. Уравнение имеет корень в виде целого числа только при дробных отрицательных значениях а.
Задание 71 ©
При каких целых значениях b корень уравнения:
1) x + 3 = b;
2) x − 2 = b;
3) x − 3b = 8 является целым числом, которое делится нацело на 3?
Решение
1)
x + 3 = b
x = b − 3
При b, кратных числу 3, х является целым числом, которое делится нацело на 3.
2) к:
x − 2 = b
x = b + 2
При b = {...-8; -5; 1; 4; 7...} х является целым числом, которое делится нацело на 3.
3)
x − 3b = 8
x = 8 + 3b
Нет значений b, при которых х является целым числом, которое делится нацело на 3.
Задание 72
При каких целых значениях b корень уравнения меньше, чем b:
1) 3x = b;
2) x = 2b?
Решение
1) 3x = b
$x=\frac b3$, следовательно при любом b > 0, корень уравнения будет меньше, чем b.
2) x = 2b, следовательно при любом b < 0, корень уравнения будет меньше, чем b.
Задание 73
При каких целых значениях d корень уравнения больше, чем d:
1) 4x = d;
2) 1/5 x = d?
Решение
1) 4x = d
$x=\frac d4$, следовательно при любом d < 0, корень уравнения будет больше, чем b.
2) $\frac15x=d$
$x=d:\frac15$
x = 5d, следовательно при любом d > 0, корень уравнения будет больше, чем b.
