Самостоятельная работа по теме "Решение задач с помощью уравнений" для 6 класса к учебнику математики Мерзляк, Полонский, Якир. Самостоятельная работа по математике "Решение задач с помощью уравнений" по УМК Мерзляк идет в 4 вариантах. Для формирования ответов использованы цитаты из пособия «Математика 6 класс. Дидактические материалы / Мерзляк и др.», цитаты использованы в учебных целях. Все типы заданий обсуждались на уроках. Самостоятельная работа по теме "Решение задач с помощью уравнений" нацелена на проверку знаний учеников 6 класса по данному направлению и на выявление проблемных моментов. Для вас мы приводим решебник по этой теме, чтобы у вас была возможность свериться с правильными ответами. Используйте ГДЗ для сверки, а не для списывания. В первом варианте смотрите образец оформления, остальные оформляйте по этому образцу.
Ответы к самостоятельной работе "Решение задач с помощью уравнений", 6 класс:
Вариант 1
-
Вариант 1
203. Провод длиной 456 м разрезали на три части, причём первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая – на 114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части провода.
Пусть х м - длина третьей части, 4х м - первой, (114 + х) м - второй, а всего длина провода 456 м.
Составим уравнение:
4х + (114 + х) + х = 456;
4х + 114 + х + х = 456;
6х = 456 - 114;
6х = 342;
х = 57.
Значит, 57 м - длина третьей части;
57 * 4 = 228 (м) - длина первой части;
114 + 57 = 171 (м) - длина второй части.
Ответ: 228 м, 171 м, 57 м.204. Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 дм.
Пусть одна сторона треугольника х дм, вторая 3х дм, третья (х + 23) дм, а его периметр равен 108 дм.
Составим уравнение:
х + 3х + (х + 23) = 108;
5х + 23 = 108;
5х = 108 - 23;
5х = 85;
х = 17.
Значит, 17 дм - одна сторона треугольника;
17 * 3 = 51 (дм) - вторая сторона;
17 + 23 = 40 (дм) - третья сторона.
Ответ: 17 дм, 51 дм, 40 дм.205. Периметр прямоугольника равен 12,4 см, одна из его сторон на 3,8 см меньше другой. Найдите площадь прямоугольника.
Пусть х см - длина одной стороны прямоугольника, (х — 3,8) см - длина другой стороны, а его периметр равен 12,4 см.
Составим уравнение:
2х + 2(х — 3,8) = 12,4;
4х - 7,6 = 12,4;
4х = 12,4 + 7,6;
4х = 20;
х = 5.
Значит, длина одной стороны 5 см;
5 - 3,8 = 1,2 (см) - длина другой стороны;
5 * 1,2 = 6 (см2) - площадь прямоугольника.
Ответ: 6 см2.206. Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8 кг конфет заплатили столько, сколько за 12 кг печенья. Сколько рублей стоит 1 кг конфет? 1 кг печенья?
Пусть х р. стоит кг печенья, (х + 52) р. стоит кг конфет, а за 8 кг конфет заплатили столько, сколько за 12 кг печенья.
Составим уравнение:
12х = 8(х + 52);
12х = 8х + 416;
12х - 8х = 416;
4х = 416;
х = 104.
Значит, 104 рубля стоит килограмм печенья;
104 + 52 = 156 (р.) - стоит килограмм конфет.
Ответ: 104 рубля, 156 рублей.207. За 3 ручки и 5 карандашей заплатили 137 р. Карандаш дешевле ручки на 11 р. Сколько рублей стоит карандаш? ручка?
Пусть х р. стоит карандаш, (х + 11) р. стоит ручка, а за 3 ручки и 5 карандашей заплатили 137 р.
Составим уравнение:
5х + 3(х + 11) = 137;
5х + 3х + 33 = 137;
8х = 104;
х = 13.
Значит, 13 р. стоит карандаш;
13 + 11 = 24 (р.) - стоит ручка.
Ответ: 13р., 24р.208. Купили 14 открыток по 24 р. и по 36 р., заплатив за всю покупку 456 р. Сколько купили открыток каждого вида?
Пусть х шт.- количество открыток по 24 р., (14 - х) шт. - по 36 р., а за всю покупку заплатили 456 р.
Составим уравнение:
24х + 36(14 — х) = 456;
24х + 504 — 36х = 456;
-12х = -48;
х = 4.
Значит, купили 4 открытки по 24 р.;
14 - 4 = 10 (шт.) - открыток по 36 р.
Ответ: 4 открытки, 10 открыток.209. От села до города легковой автомобиль доехал за 3 ч, а грузовой – за 5 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 32 км/ч меньше скорости легкового автомобиля.
Пусть х км/ч скорость легкового автомобиля, (х - 32) км/ч скорость грузового, а от села до города легковой автомобиль доехал за 3 ч, а грузовой – за 5 ч.
Составим уравнение:
3х = 5(х — 32)
3х = 5х — 160
2х = 160
х = 80
Значит, скорость легкового автомобиля 80 км/ч;
80 - 32 = 48 (км/ч) - скорость грузового.
Ответ: 80 км/ч, грузового 48 км/ч.210. В первом шкафу было в 4 раза меньше книг, чем во втором. Когда в первый шкаф положили 17 книг, а из второго взяли 25, то в обоих шкафах книг стало поровну. Сколько книг было в каждом шкафу вначале?
Пусть х книг было в первом шкафу, 4х книг во втором шкафу, а когда в первый шкаф положили 17 книг, а из второго взяли 25, то в обоих шкафах книг стало поровну.
Составим уравнение:
х + 17 = 4х — 25
х - 4х = -25 - 17
-3х = -42
х = 14
Значит, в первом шкафу было 14 книг;
4 * 14 = 56 (к.) - было во втором шкафу.
Ответ: 14 книг, 56 книг.211. У Васи с Машей было поровну денег. Когда Вася купил книгу за 70 р., а Маша – журнал за 30 р., то у Маши осталось денег в 3 раза больше, чем у Васи. Сколько рублей было у каждого из них вначале?
Пусть х р. было у Маши и столько же у Васи, (х - 70) р. осталось у Васи, (х - 30) р. осталось у Маши, а у Маши осталось денег в 3 раза больше, чем у Васи.
Составим уравнение:
3(х - 70) = х - 30;
3х - 210 = х - 30;
3х - х = 210 - 30;
2х = 180;
х = 90.
Значит, по 90 рублей было у Маши и у Васи.
Ответ: по 90 р.212. В первом ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго – 14, то во втором осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике вначале?
Пусть х апельсинов было во втором ящике, 7х апельсинов в первом, (х — 14) ап. осталось во втором ящике, (7х — 38) ап. в первом, а во втором осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом.
Составим уравнение:
(7х — 38) — (х — 14) = 78;
7х — 38 — х + 14 = 78;
7х — х = 78 + 38 - 14;
6х = 102;
х = 17.
Значит, 17 апельсинов было во втором ящике;
17 * 7 = 119 (ап.) - было в первом ящике.
Ответ: 119 апельсинов, 17 апельсинов. Вариант 2
-
Вариант 2
203. Трое рабочих изготовили вместе 762 детали, причём первый изготовил в 3 раза больше деталей, чем третий, а второй – на 117 деталей больше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
х + 3х + 117 + х = 762
Ответ: 387, 246 и 129 деталей.204. Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.
х + 2х + (х + 9) = 105
4х + 9 =105
4х = 96
х = 24
Ответ: 24, 33, 48 см.205. Периметр прямоугольника равен 11,2 дм, одна из его сторон на 2,4 дм больше другой. Найдите площадь прямоугольника.
2(х + (х + 2,4)) = 11,2
Ответ: 6,4 дм2.206. Масса банки краски больше массы банки олифы на 1,6 кг. Какова масса банки краски и какова – банки олифы, если масса 6 банок краски равна массе 14 банок олифы?
14х = 6(1,6 + х)
Ответ: 1,2 кг, 2,8 кг.207. За 7 тетрадей и 4 альбома для рисования заплатили 335 р. Альбом дороже тетради на 15 р. Сколько рублей стоит тетрадь? альбом?
7х + 4(х + 15) = 335
Ответ: 25р., 40 р.208. Купили 18 карандашей по 7 р. и по 12 р., заплатив за всю покупку 186 р. Сколько купили карандашей каждого вида?
7х +12(18 — х) = 186
Ответ: 6 кар. по 7 р. и 12 кар. по 12р.209. Катер прошёл расстояние между двумя портами за 3 ч, а теплоход это же расстояние – за 4 ч. Найдите скорость катера и скорость теплохода, если скорость катера на 8 км/ч больше скорости теплохода.
4х = 3(х + 8)
Ответ: тепл. 24 км/ч, катер 32 км/ч.210. На первом складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на втором. Когда с первого склада увезли 20 телевизоров, а на второй привезли 14, то на обоих складах телевизоров стало поровну. Сколько телевизоров было на каждом складе вначале?
3х — 20 = х + 14
Ответ: 17 и 51 тел.211. В двух вагонах поезда ехало одинаковое количество пассажиров. Когда из первого вагона вышли 26 пассажиров, а из второго – 17, то в первом вагоне стало пассажиров в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько пассажиров было в каждом вагоне вначале?
х + 26 = 2х + 17
Ответ: 35 пас.212. В книжном шкафу было в 6 раз больше книг, чем на этажерке. Когда из шкафа взяли 46 книг, а с этажерки – 18, то на этажерке осталось на 97 книг меньше, чем в шкафу. Сколько книг было в шкафу и сколько на этажерке вначале?
(6х — 46) — (х — 18) = 97
Ответ: в шкафу 150, на этажерке 25 книг. Вариант 3
-
Вариант 3
203. На заводе в трёх цехах работают 626 человек. В первом цехе работают в 2 раза больше человек, чем во втором, а в третьем – на 142 человека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?
2х + х + (х + 142) = 626
Ответ: в 1-м 242, во 2-м 121, в 3-м 263 чел.204. Одна сторона треугольника на 14 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 122 см.
х + (х + 14) = 2х = 122
Ответ: 27 см, 41 см, 54 см.205. Периметр прямоугольника равен 14,8 см, одна из его сторон на 2,6 см меньше другой. Найдите площадь прямоугольника.
2(х + (х + 2,6)) = 14,8
Ответ: 12 см2.206. Альбом дороже тетради на 48 р. Сколько стоит альбом и сколько – тетрадь, если за 5 альбомов заплатили столько же, сколько за 21 тетрадь?
5(х + 48) = 21х
Ответ: тетр. 15р., альбом 63р.207. За 4 пачки печенья и 3 бутылки минеральной воды заплатили 400 р. Пачка печенья дешевле бутылки минеральной воды на 5 р. Сколько рублей стоит пачка печенья? бутылка минеральной воды?
4х + 3(5 + х) = 400
Ответ: печенье 55р., вода 60р.208. Купили 16 тетрадей по 18 р. и по 24 р., заплатив за всю покупку 306 р. Сколько купили тетрадей каждого вида?
18х + 24(16 — х) = 306
Ответ: 13т. по 18р., 3т. по 24р.209. Велосипедист преодолел расстояние между двумя посёлками за 1 ч, а пешеход – за 3 ч. Найдите скорость велосипедиста и скорость пешехода, если скорость пешехода на 8 км/ч меньше скорости велосипедиста.
3х = х + 8
Ответ: пеш. 4 км/ч, вел. 12 км/ч.210. В первом ящике было в 5 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 16 апельсинов, а во второй положили 12, то в обоих ящиках апельсинов стало поровну. Сколько апельсинов было в каждом ящике вначале?
5х — 16 = х + 12
Ответ: во 2-м 7 ап., в 1-м 35 ап.211. На двух полках было поровну книг. Когда с первой полки сняли 8 книг, а со второй – 24 книги, то на первой полке стало книг в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг было на каждой полке вначале?
3х + 8 = х + 24
Ответ: по 32 книги.212. В автопарке грузовых автомобилей было в 5 раз больше, чем легковых. Когда в рейс вышло 48 грузовых и 5 легковых автомобилей, то в автопарке осталось грузовых автомобилей на 9 больше, чем легковых. Сколько легковых и сколько грузовых автомобилей было в автопарке вначале?
(5х — 48) — (х — 5) = 9
Ответ: 13 легк. и 65 груз. авто. Вариант 4
-
Вариант 4
203. В три школы отправили 509 кг яблок, причём в первую школу отправили яблок в 7 раз больше, чем во вторую, а в третью – на 158 кг больше, чем во вторую. Сколько килограммов яблок отправили в каждую школу?
х + 7х = х + 158 = 500
Ответ: в 1-ю 266, во 2-ю 38, в 3-ю 196 кг.204. Одна сторона треугольника в 5 раз меньше второй и на 28 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 84 дм.
7 + 5х + х + 28 = 84
Ответ: 8дм, 40дм, 36дм.205. Периметр прямоугольника равен 13 дм, одна из его сторон на 1,5 дм больше другой. Найдите площадь прямоугольника.
2(х + (х — 1,5)) = 13
Ответ: 10 дм2.206. Пачка бумаги дороже набора карандашей на 36 р. Сколько стоит пачка бумаги и сколько – набор карандашей, если за 4 пачки бумаги заплатили столько же, сколько за 10 наборов карандашей?
4(х + 36) = 10х
Ответ: кар. 24р., бум. 60р.207. За 5 шоколадок и 6 леденцов заплатили 340 р. Шоколадка дороже леденца на 35 р. Сколько рублей стоит леденец? шоколадка?
6х + 5(х + 35) = 340
Ответ: лед. 15р, шок. 50р.208. Купили 12 наборов фломастеров по 40 р. и по 60 р., заплатив за всю покупку 580 р. Сколько купили наборов каждого вида?
40х + 60(12 — х) = 580
Ответ: 7 наб по 40р., 5 наб. по 60р.209. Расстояние между двумя городами поезд преодолел за 9 ч, а легковой автомобиль – за 7 ч. Найдите скорость поезда и скорость легкового автомобиля, если скорость поезда меньше скорости легкового автомобиля на 18 км/ч, а расстояния между городами по железной дороге и по шоссе равны.
9х = 7(х + 18)
Ответ: поезд 63 км/ч, авто 81 км/ч.210. У Саши в коллекции было в 4 раза больше солдатиков, чем у Юры. Когда Саша подарил Юре 18 солдатиков, то у обоих мальчиков солдатиков стало поровну. Сколько солдатиков было у каждого мальчика вначале?
4х — 18 = х + 18
Ответ: 12шт. у Юры, 48шт. у Саши.211. В двух коробках было поровну конфет. Когда из первой коробки взяли 10 конфет, а из второй – 28 конфет, то в первой коробке стало конфет в 4 раза больше, чем во второй. Сколько конфет было в каждой коробке вначале?
4х + 10 = х + 28
Ответ: по 34 конф.212. В первой вазе было в 4 раза больше ромашек, чем во второй. Когда из первой вазы взяли 14 ромашек, а из второй – 2 ромашки, то во второй вазе стало на 15 ромашек меньше, чем в первой. Сколько ромашек было в каждой вазе вначале?
(4х — 14) — (х — 12) = 15
Ответ: в 1-й 36 шт., во 2-й 9 шт.
