Задание 609

Верно ли, что:
а) 10! = 10 * 9!;
б) 10! = 2! * 5!;
в) 12!/11!=12?

Решение

а) 10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9) * 10 = 9! * 10;
10! = 10 * 9! − равенство верно

б) 10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10;
2! * 5! = 1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5;
10! = 2! * 5! − равенство неверно.

в) $\frac{12!}{11!}=\frac{1\ast2\ast3\ast4\ast5\ast6\ast7\ast8\ast9\ast10\ast11\ast12}{1\ast2\ast3\ast4\ast5\ast6\ast7\ast8\ast9\ast10\ast11}=12$
Равенство верно

Задание 610

а) Делится ли 100! на 47? на 99? на 101? на 102?
б) Сколькими нулями оканчивается число 100!?

Решение

а) 100! делится на 47, т.к. в разложении на множители числа 100! содержится число 47, а по свойству делимости произведения оно делится на 47.

100! делится на 99, т.к. в разложении на множители числа 100! содержится число 99, а по свойству делимости произведения оно делится на 99.

100! не делится на 101, т.к. 101 − простое число и в разложении на множители числа 100! не содержится число 101.

100! делится на 102, т.к. в разложении числа содержатся числа 2 и 51, 2 * 51 = 102, значит по свойству делимости произведения оно делится на 102.

б) В разложении числа 100!:
100 − 2 нуля;
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 − 9 нулей;
Также нули будут получаться при умножении числа, оканчивающегося на 5, на число, оканчивающееся на 2:
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 − 10 нулей.
Кроме того, числа 25, 50, 75 можно представить в виде произведений:
25 = 5 * 5;
50 = 2 * 5 * 5;
75 = 3 * 5 * 5, так как в этих числа два делителя равны 5, то эти числа дополнительно дадут по нулю, то есть еще 3 нуля.
Таким образом:
2 + 9 + 10 + 3 = 24 (нулями) − оканчивается число 100!

Задание 611

Докажите, что n! ≤ $n^n$.

Решение

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... n;
$n^n=n\ast n\ast n\ast n\ast...\ast n$.
сравним почленно произведения:
1 ≤ n;
2 ≤ n;
3 ≤ n;
...
n = n.
Поэтому произведение
1 * 2 * 3 * 4 * ... * n ≤ n * n * n * n ... n, следовательно:
n! ≤ $n^n$ − утверждение доказано.