Задание 600

а) В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут распределяться места между ними?
б) Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов?
в) Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг?

Решение

а) 8! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 40320 (способами) − могут распределяться места между школьниками.
Ответ: 40320 способов.

б) 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 (способами) − можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.
Ответ: 5040 способов

в) 10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 362880 (способами) − можно расставить на полке 10 различных книг.
Ответ: 362880 способов.

Задание 601

Для каждой из 10 команд, участвующих в школьной спартакиаде, надо изготовить свой флаг. Есть материя трех цветов: красного, синего и белого. Флаг сшивают из трех одинаковых по величине и разных по цвету горизонтальных полос. Удастся ли таким образом сделать флаг для каждой команды?

Решение

1) 3! = 1 * 2 * 3 = 6 (видов) − флагов можно сшить;
2) 6 < 10 − значит не удастся сделать флаг для каждой команды.
Ответ: не удастся.

Задание 602

Напомним, что анаграмма − это слово, полученное из данного слова перестановкой его букв (но необязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова "график"? слова "интеграл"?

Решение

В слове "график" 6 букв, значит:
6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720 (анаграмм) − слова "график" существует.
В слове "интеграл" 8 букв, значит:
8! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 40320 (анаграмм) − слова "интеграл" существует.
Ответ: 720 анаграмм; 40320 анаграмм.

Задание 603

Из нечетных цифр составляют всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр.
а) Сколько всего таких чисел?
б) Сколько таких чисел начинается с цифры 1?

Решение

а) Всего 5 нечетных цифр, тогда:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (пятизначных чисел) − можно составить из нечетных цифр.
Ответ: 120 чисел.

б) На первом месте стоит цифра 1, тогда на оставшихся местах может стоять одна из четырех цифр, тогда:
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 (пятизначных числа) − с первой цифрой 1 можно составить из нечетных цифр.
Ответ: 24 числа.

Задание 604

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются пятизначные числа, в которых все цифры разные.
а) Сколько из них делится на 5?
б) Сколько из них не делится на 5?

Решение

а) Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 5, поэтому на последнем месте стоит цифра 5, тогда остались 4 цифры:
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 (числа) − можно составить, которые делятся на 5.
Ответ: 24 числа.

б) 5! − 4! = 120 − 24 = 96 (чисел) − можно составить, которые не делятся на 5.
Ответ: 96 чисел.

Задание 605

Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8?

Решение

1) 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (чисел) − можно составить всего, но так как на первом месте 0 стоять не может, тогда:
2) 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 (числа) − могут начинаться с нуля;
3) 120 − 24 = 96 (чисел) − можно составить.
Ответ: 96 чисел.

Задание 606

Сколько существует анаграмм слова:
а) "факториал";
б) "перестановка";
в) "комбинаторика"?
Указание.
а) Временно считайте две буквы "а" различными буквами (обозначьте их "а1" и "а2") и сосчитайте всевозможные анаграммы. Далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв "а1" и "а2", на самом деле одинаковы.

Решение

а) В слове "факториал" 9 букв, из них 2 буквы повторяются, значит:
1) 9! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 362880 (анаграмм) − всего;
так как среди анаграмм есть повторяющиеся, которые получатся перестановкой букв "а", то:
2) 362880 : 2 = 181440 (анаграмм) − слова "факториал" существует.
Ответ: 181440 анаграмм.

б) В слове "перестановка" 12 букв, из них две пары повторяющихся букв, значит:
1) 12! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 = 479001600 (анаграмм) − всего;
так как среди анаграмм есть повторяющиеся, которые получаются перестановкой букв "е" и "а", то:
2) 479001600 : (2 * 2) = 479001600 : 4 = 119750400 (анаграмм) − слова "перестановка" существует.
Ответ: 119750400 анаграмм.

в) В слове "комбинаторика" всего 13 букв, из них четыре пары повторяющихся букв, значит:
1) 13! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 = 6227020800 (анаграмм) − всего;
так как среди анаграмм есть повторяющиеся, которые получаются перестановкой букв "о", "к", "и", "а", то:
2) 6227020800 : (2 * 2 * 2 * 2) = 6227020800 : 16 = 389188800 (анаграмм) − слова "комбинаторика" существует.
Ответ: 119750400 анаграмм.

Задание 607

Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные − разные авторов, так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение

Так как 4 книги одного автора должны стоять вместе, то примем их за одну книгу, тогда:
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 (способами) − можно расставить на полке 10 книг.
Ответ: 5040 способов.

Задание 608

Пять мальчиков и пять девочек занимают в театре в одном ряду места с 1−го по 10−е. Мальчики садятся на нечетные места, а девочки − на четные. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение

Нечетных чисел 5: 2, 4, 6, 8, 10.
Четных чисел 5: 1, 3, 5, 7, 9.
1) 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (способами) − можно рассадить мальчиков;
2) 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 (способами) − можно рассадить девочек;
3) 5! * 5! = 14400 (способами) − можно рассадить всех детей.
Ответ: 14400 способов.