Ответы к параграфу 6.3 Решение комбинаторных задач

Вопросы

1. Каким будет ответ задачи из примера 1, если:
а) первой цифрой кода не может быть 0;
б) код должен оканчиваться цифрой 5 или 6;
в) первая цифра кода четная, а вторая − нечетная?

Решение

а) 9 (способов) − выбора первой цифры;
10 (способов) − выбора второй цифры:
9 * 10 = 90 (вариантов) − ввода.
Ответ: 90 вариантов

б) 10 (способов) − выбора первой цифры;
2 (способа) − выбора второй цифры:
10 * 2 = 20 (вариантов) − ввода.
Ответ: 20 вариантов

в) 5 (способов) − выбора первой цифры;
5 (способов) − выбора второй цифры:
5 * 5 = 25 (вариантов) − ввода.
Ответ: 25 вариантов

2. Какие из данных ниже задач аналогичны той, что описана в примере 2?
а) В спартакиаде приняли участие 7 боксеров, причем каждый с каждым провел по одному бою. Сколько всего боев было проведено?
б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?
в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms−сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?
г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялось послами. Сколько всего послов было направлено?
д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Решение

а) 7 (способов) − выбора первого боксера;
6 (способов) − второго боксера.
Так как, в каждом бою участвуют сразу 2 боксера, то:
$\frac{7\ast6}2=\frac{42}2=21$ (бой) − был проведен.
Ответ: 21 бой. Задача аналогична задаче, описанной в примере 2.

б) 6 (способов) − выбора первого бизнесмена;
5 (способов) − выбора второго бизнесмена.
Так как, в рукопожатии участвуют сразу 2 бизнесмена, то:
$\frac{6\ast5}2=\frac{30}2=15$ (рукопожатий) − было сделано.
Ответ: 15 рукопожатий. Задача аналогична задаче, описанной в примере 2.

в) 4 (способа) − выбора первой подруги;
3 (способа) − выбора второй подруги;
4 * 3 = 12 (сообщений) − было отправлено всего.
Ответ: 12 сообщений. Задача не аналогична задаче, описанной в примере 2.

г) 5 (способов) − выбора первого государства;
4 (способа) − выбора второго государства;
5 * 4 = 20 (послов) − было направлено всего.
Ответ: 20 послов. Задача не аналогична задаче, описанной в примере 2.

д) 4 (способа) − выбора первой точки;
3 (способа) − выбора второй точки.
Так как, каждый отрезок содержит сразу 2 точки, то:
$\frac{4\ast3}2=\frac{12}2=6$ (отрезков) − было проведено.
Ответ: 6 отрезков. Задача аналогична задаче, описанной в примере 2.

Задание 587

а) На почте продается 40 разных конвертов и 25 разных марок. Сколько есть вариантов покупки конверта с маркой?
б) В театральном кафе предлагают три вида бутербродов, конфеты пяти сортов и два вида сока. Сколькими способами можно выбрать набор из бутерброда, конфеты и сока?

Решение

а) 40 способов выбора конверта;
25 способов выбора марок;
40 * 25 = 1000 (вариантов) − покупки конверта с маркой.
Ответ: 1000 вариантов.

б) 3 способа выбора бутерброда;
5 способов выбора сорта конфет;
2 способа выбора вида сока;
3 * 5 * 2 = 30 (способов) − выбора набора из бутерброда, конфеты и сока.
Ответ: 30 способов.

Задание 588

а) В забеге участвуют шесть мальчиков. Сколькими способами могут распределяться два первых места?
б) Сколько существует вариантов выбора спикера и вице−спикера парламента, если всего в парламенте 101 депутат?

Решение

а) 6 (способов) − выбора первого места;
5 (способов) − выбора второго места;
6 * 5 = 30 (способов) − существует для распределения первых двух мест.
Ответ: 30 способов.

б) 101 (способ) − выбора спикера;
100 (способов) − выбора вице−спикера;
101 * 100 = 10100 (вариантов) − существует для выбора спикера и вице−спикера парламента.
Ответ: 10100 варианта.

Задание 589

а) В классе десять одноместных парт. Сколькими способами можно рассадить на них трех школьников?
б) В пассажирском поезде девять вагонов. Сколькими способами можно посадить в этот поезд четырех пассажиров, если требуется, чтобы все они ехали в разных вагонах?

Решение

а) 10 способов выбора парты для первого школьника;
9 способов выбора парты для второго школьника;
8 способов выбора парты для третьего школьника;
10 * 9 * 8 = 90 * 8 = 720 (способами) − можно рассадить трех школьников.
Ответ: 720 способов.

б) 9 способов выбора вагона для первого пассажира;
8 способов выбора вагона для второго пассажира;
7 способов выбора вагона для третьего пассажира;
6 способов выбора вагона для четвертого пассажира;
9 * 8 * 7 * 6 = 3024 (способами) − можно рассадить четырех пассажиров.
Ответ: 3024 способа.

Задание 590

Сколько существует четырехзначных чисел, составленных из нечетных цифр? из четных цифр? из четырех разных цифр?

Решение

1, 3, 5, 7, 9 − всего 5 нечетных цифр, значит существует 5 способов выбора каждой цифры в четырехзначном числе, тогда:
5 * 5 * 5 * 5 = 625 (четырехзначных чисел) − можно составить из нечетных цифр.
0, 2, 4, 6, 8 − всего 5 четных цифр, тогда:
4 способа выбора первой цифры (0 первой цифрой быть не может);
5 способов выбора каждой из оставшихся трех цифр числа;
4 * 5 * 5 * 5 = 500 (четырехзначных чисел) − можно составить из четных цифр.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 − всего 10 разных цифр, тогда:
9 способов выбора первой цифры (0 первой цифрой быть не может);
9 способов выбора второй цифры;
8 способов выбора третьей цифры;
7 способов выбора четвертой цифры;
9 * 9 * 8 * 7 = 4536 (чисел) − четырехзначных можно составить из четырех разных цифр.
Ответ: 625 чисел; 500 чисел; 4536 чисел.

Задание 591

Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 2? на 5? на 10?

Решение

Число делится на 2, если оно оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8, тогда:
9 способов выбора первой цифры (0 первой цифрой быть не может);
10 способов выбора второй цифры;
10 способов выбора третьей цифры;
10 способов выбора четвертой цифры;
5 способов выбора пятой цифры;
9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45000 (пятизначных чисел) − делятся на 2.
Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5, тогда:
9 способов выбора первой цифры (0 первой цифрой быть не может);
10 способов выбора второй цифры;
10 способов выбора третьей цифры;
10 способов выбора четвертой цифры;
2 способа выбора пятой цифры;
9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18000 (пятизначных чисел) − делятся на 5.
Число делится на 10, если оно оканчивается цифрой 0, тогда:
9 способов выбора первой цифры (0 первой цифрой быть не может);
10 способов выбора второй цифры;
10 способов выбора третьей цифры;
10 способов выбора четвертой цифры;
1 способ выбора пятой цифры;
9 * 10 * 10 * 10 * 1 = 9000 (пятизначных чисел) − делятся на 10.
Ответ: 45000 чисел; 18000 чисел; 9000 чисел.

Задание 592

а) В чемпионате по настольному теннису участвовало 40 спортсменов, и каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего сыграно партий?
б) На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
в) В некоторой стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?

Решение

а) 40 способов выбора первого спортсмена;
39 способов выбора второго спортсмена.
Так как, в каждой партии одновременно играют 2 спортсмена, значит:
$\frac{40\ast39}2=780$ (партий) − сыграно всего.
Ответ: 780 партий.

б) 50 способов выбора первого человека;
49 способов выбора второго человека.
Так как, в рукопожатии одновременно участвуют 2 человека, значит:
$\frac{50\ast49}2=1225$ (рукопожатий) − сделано всего.
Ответ: 1225 рукопожатий.

в) 25 способов выбора первого города;
24 способа выбора второго города.
Так как, одна авиалиния соединяет одновременно 2 города, значит:
$\frac{25\ast24}2=300$ (авиалиний) − всего в стране.
Ответ: 300 авиалиний.