Задание 530

Выполните деление:

а) $a^7:a^2=a^{7-2}=a^5$

б) $b^{10}:b^5=b^{10-5}=b^5$

в) $c^{30}:c^{10}=c^{30-10}=c^{20}$

г) $x^{12}:x^4=x^{12-4}=x^8$

д) $m^{50}:m^2=m^{50-2}=m^{48}$

е) $y^{100}:y^{10}=y^{100-10}=y^{90}$

Задание 531

Какие из данных дробей равны выражению $a^5$?

1) $\frac{a^{10}}{a^2}=a^{10-2}=a^8$
2) $\frac{a^{10}}{a^5}=a^{10-5}=a^5$
3) $\frac{a^{10}}{b^2}$ − упростить нельзя;
4) $\frac{a^{10}}{b^5}$ − упростить нельзя.
Ответ: 2)

Задание 532

Чему равно значение выражения?

а) $\frac{10^{23}}{10^{20}}=10^{23-20}=10^3=1000$

б) $\frac{2^{31}}{2^{27}}=2^{31-27}=2^4=16$

в) $\frac{10^{17}}{10^{20}}=\frac{10^{17}}{10^{17}\ast10^3}=\frac1{10^3}=\frac1{1000}$

г) $\frac{6^{112}}{6^{114}}=\frac{6^{112}}{6^{112}\ast6^2}=\frac1{36}$

д) $\frac{5^4}{5^8}=\frac{5^4}{5^4\ast5^4}=\frac1{5^4}=\frac1{625}$

е) $\frac{2^{100}}{2^{105}}=\frac{2^{100}}{2^{100}\ast2^5}=\frac1{2^5}=\frac1{32}$

Задание 533

Во сколько раз $6^12$ больше, чем $6^10$? $5^118$ меньше, чем $5^121$?

Решение

$\frac{6^{12}}{6^{10}}=6^{12-10}=6^2=36$ (раз) − $6^12$ больше, чем $6^10$
$\frac{5^{121}}{5^{118}}=5^{121-118}=5^3=125$ (раз) − $5^118$ меньше, чем $5^121$

Задание 534

Выполните деление:

а) $\frac{x^n}{x^2}=x^n:x^2=x^{n-2}$

б) $x^{n+2}:x^2=x^{n+2-2}=x^n$

в) $\frac{x^{n+1}}{x^n}=x^{n+1}:x^n=x^{n+1-n}=x^1=x$

г) $x^n:x=x^{n-1}$

Задание 535

Упростите выражение:

а) $\frac{x^5\ast x^8}{x^3}=x^{(5+8)-3}=x^{13-3}=x^{10}$

б) $\frac{a^{90}\ast a^{10}}{a^{50}}=a^{(90+10)-50}=a^{100-50}=a^{50}$

в) $\frac{m^{20}}{m^8\ast m^8}=m^{20-(8+8)}=m^{20-16}=m^4$

г) $\frac{y^{30}}{y^{15}\ast y^{10}}=y^{30-(15+10)}=y^{30-25}=y^5$

д) $\frac{b^3\ast b\ast b^7}{b^5\ast b^4}=b^{(3+1+7)-(5+4)}=b^{11-9}=b^2$

е) $\frac{c^{12}\ast c^2\ast c^6}{c\ast c^{10}\ast c^3}=c^{(12+2+6)-(1+10+3)}=c^{20-14}=c^6$

Задание 536

Вычислите:

а) $\frac{3^{10}\ast3^5}{3^{12}}=3^{(10+5)-12}=3^{15-12}=3^3=27$

б) $\frac{2^{17}}{2^9\ast2^3}=2^{17-(9+3)}=2^{17-12}=2^5=32$

в) $\frac{5^2\ast5\ast5^{16}}{5^7\ast5^{10}}=5^{(2+1+16)-(7+10)}=5^{19-17}=5^2=25$

г) $\frac{10^8\ast10^6}{10^2\ast10^5\ast10^5}=10^{(8+6)-(2+5+5)}=10^{14-12}=10^2=100$

Задание 537

При каком значении k верно равенство:
а) $a^8\ast a^k=a^{12};
б) $a^20=a^k\ast a^{10}$;
в) $x^{15} : x^k = x^{10}$;
г) $x^k : x^8 = x^3$;
д) $25\ast5^6=5^k$;
е) $36\ast6^k=6^8$?

Решение

а) $a^8\ast a^k=a^{12}$
$a^{8+k}=a^{12}$
8 + k = 12
k = 12 − 8
k = 4

б) $a^20=a^k\ast a^{10}$
$a^20 = a^k + 10$
k + 10 = 20
k = 20 − 10
k = 10

в) $x^{15}:x^k=x^{10}$
$x^{15-k}=x^{10}$
15 − k = 10
k = 15 − 10
k = 5

г) $x^k:x^8=x^3$
$x^{k-8}=x^3$
k − 8 = 3
k = 3 + 8
k = 11

д) $25\ast5^6=5^k$
$5^2\ast5^6=5^k$
$5^{2+6}=5^k$
k = 2 + 6
k = 8

е) $36\ast6^k=6^8$
$6^2\ast6^k=6^8$
$6^{2+k}=6^8$
2 + k = 8
k = 8 − 2
k = 6

Задание 538

а) Зная, что $2^{10}$ = 1024, найдите: $2^{12}$ ; $2^8$;
б) Зная, что $5^7$ = 78125, найдите: $5^5$ ; $5^8$.

Решение

а) $2^10 = 1024$;
$2^{12}=2^{10}\ast2^2=1024\ast4=4096$;
$2^8=2^{10}:2^2=1024:4=256$.

б) $5^7 = 78125$;
$5^5=5^7:5^2=78125:25=3125$;
$5^8=5^7\ast5^1=78125\ast5=390625$.

Задание 539

Найдите значение выражения:

а) $(1,3\ast10^3)\ast(5\ast10^2)=(1,3\ast5)\ast(10^3\ast10^2)=6,5\ast10^5=6,5\ast100000=650000$

б) $(2,4\ast10^3)\ast(3\ast10^3)=(2,4\ast3)\ast(10^3\ast10^3)=7,2\ast10^6=7,2\ast1000000=7200000$

в) $\frac{3,2\ast10^9}{2\ast10^6}=(3,2:2)\ast(10^9:10^6)=1,6\ast10^3=1,6\ast1000=1600$

г) $\frac{56\ast10^{27}}{2,8\ast10^{25}}=(56:2,8)\ast(10^{27}:10^{25})=20\ast10^2=20\ast100=2000$

Задание 540

Упростите произведение:

а) $3a^3\ast7a^2=(3\ast7)\ast(a^3\ast a^2)=21a^5$

б) $b^4\ast5b^8=5\ast(b^4\ast b^8)=5b^{12}$

в) $9x\ast(-4x^5)=(9\ast(-4))\ast(x\ast x^5)=-36x^6$

г) $(-4a^2)\ast(-5a)=(-4\ast(-5))\ast(a^2\ast a)=20a^3$

д) $3c\ast5c^2\ast7c^3=(3\ast5\ast7)\ast(c\ast c^2\ast c^3)=105c^6$

е) $y\ast4y^3\ast(-2y)=(4\ast(-2))\ast(y\ast y^3\ast y)=-8y^5$