Ответы к параграфу 5.2 Расстояние между точками координатной прямой
Вопросы
1. На координатной прямой заданы точки M(m) и N(n). Запишите формулу, по которой можно вычислить расстояние между этими точками. Справедлива ли эта формула, если одна из точек совпадает с началом отсчета?
Решение
MN = |n − m|
Эта формула справедлива, если одна из точек совпадает с началом отсчета.
2. Найдите координату середины отрезка AB для каждого случая на рисунке 5.13.
Решение
а) AB = |8 − 3| = |5| = 5
x = 3 + 2,5 = 5,5 − координата середины отрезка AB.
Ответ: 5,5
б) AB = |3 − (−4)| = |7| = 7
x = −4 + 3,5 = −0,5 − координата середины отрезка AB.
Ответ: −0,5
в) AB = |−2 − (−6)| = |4| = 4
x = −6 + 2 = −4 − координата середины отрезка AB.
Ответ: −4
3. Расскажите, как найдена координата середины отрезка в примере из фрагмента 2.
Решение
1) Находим длину отрезка AB.
2) Вычисляем его половину.
3) Прибавляем полученное число к координате левой точки.
Задание 451
Найдите расстояние между точками, отмеченными на координатной прямой (рис.5.14,а−г)
Решение
а) |115 − 89| = |26| = 26
б) |−3 − 67| = |−70| = 70
в) |−35 − (−90)| = |55| = 55
г) |−120 − (−15)| = |−105| = 105
Задание 452
Найдите длины отрезков AB, AC, AO, AD, BD (рис.5.15).
Решение
AB = |−4 − (−8,9)| = |−4 + 8,9| = |4,9| = 4,9;
AC = |0,9 − (−8,9)| = |0,9 + 8,9| = |9,8| = 9,8;
AO = |0 − (−8,9)| = |0 + 8,9| = |8,9| = 8,9;
AD = |7 − (−8,9)| = |7 + 8,9| = |15,9| = 15,9;
BD = |−7 − (−4)| = |7 + 4| = |11| = 11.
Задание 453
Найдите длину отрезка MN, если:
а) M(−7), N(35);
б) M(1/2),N(1/3);
в) M(−2,76), N(−2,83).
Решение
а) MN = |35 − (−7)| = |35 + 7| = |42| = 42
б) $MN=\vert\frac13-\frac12\vert=\vert\frac{2-3}6\vert=\vert-\frac16\vert=\frac16$
в) MN = |−2,83 − (−2,76)| = |−2,83 + 2,76| = |−0,07| = 0,07
Задание 454
а) Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка с концами в точках A(−6,8) и B(12,4).
б) Найдите координату точки K, которая является серединой отрезка с концами в точках M(10,6) и N(−2,4).
Решение
а) A(−6,8), B(12,4).
AB = |12,4 − (−6,8)| = |12,4 + 6,8| = |19,2| = 19,2;
x = −6,8 + 19,2 : 2 = −6,8 + 9,6 = 2,8.
Ответ: C(2,8)
б) M(10,6), N(−2,4).
MN = |−2,4 − 10,6| = |−13| = 13;
x = −2,4 + 13 : 2 = −2,4 + 6,5 = 4,1.
Ответ: K(4,1)
Задание 455
Зная координату точки A на прямой и расстояние между точками A и B, найдите координату точки B:
а) A(−1), AB = 4;
б) A(2), AB = 6.
Решение
а) A(−1), AB = 4.
пусть B(x), тогда:
AB = |x − (−1)| = 4
|x + 1| = 4
x + 1 = 4
x = 4 − 1
x = 3
или
x + 1 = −4
x = −4 − 1
x = −5
Ответ: B(3) или B(−5)
б) A(2), AB = 6.
пусть B(x), тогда:
AB = |x − 2| = 6
|x − 2| = 6
x − 2 = 6
x = 6 + 2
x = 8
или
x − 2 = −6
x = −6 + 2
x = −4
Ответ: B(8) или B(−4)
Задание 456
Точка A имеет координату, равную −4, а точка B − координату, равную 18. Найдите координаты точек, которые делят отрезок AB на четыре равные части.
Решение
A(−4), B(18).
C(c) − середина AB.
AB = |18 − (−4)| = |18 + 4| = |22| = 22;
c = −4 + 22 : 2 = −4 + 11 = 7;
C(7)
M(m) − середина AC.
AC = AB : 2 = 22 : 2 = 11;
m = −4 + 11 : 2 = −4 + 5,5 = 1,5;
M(1,5)
N(n) − середина CB.
n = 7 + 11 : 2 = 7 + 5,5 = 12,5;
N(12,5)
Ответ: M(1,5); C(7); N(12,5).
