Задание 350

Какие из чисел 1, 2, 0, −1, −2 являются корнями уравнения:
а) x$^3$+6x$^2$+5x−6=0;
б) x$^3$−x$^2$−6x=0;
в) x$^3$+6x$^2$+11x+6=0;
г) x$^3$+4x$^2$+x−6=0?

Решение

а) x$^3$+6x$^2$+5x−6=0
x = 1
1$^3$+6∗1$^2$+5∗1−6=0
1 + 6 + 5 − 6 = 0
6 ≠ 0
Число 1 не является корнем уравнения.

x = 2
2$^3$+6∗2$^2$+5∗2−6=0
8 + 6 * 4 + 10 − 6 = 0
8 + 24 + 4 = 0
36 ≠ 0
Число 2 не является корнем уравнения.

x = 0
0$^3$+6∗0$^2$+5∗0−6=0
0 + 0 + 0 − 6 = 0
−6 ≠ 0
Число 0 не является корнем уравнения.

x = −1
(−1)$^3$+6∗(−1)$^2$+5∗(−1)−6=0
−1 + 6 − 5 − 6 = 0
−6 ≠ 0
Число −1 не является корнем уравнения.

x = −2
(−2)$^3$+6∗(−2)$^2$+5∗(−2)−6=0
−8 + 24 − 10 − 6 = 0
0 = 0
Число −2 является корнем уравнения.

Ответ: x = −2

б) x$^3$−x$^2$−6x=0
x = 1
1$^3$−1$^2$−6∗1=0
1 − 1 − 6 = 0
−6 ≠ 0
Число 1 не является корнем уравнения.

x = 2
2$^3$−2$^2$−6∗2=0
8 − 4 − 12 = 0
−8 ≠ 0
Число −2 не является корнем уравнения.

x = 0
0$^3$−0$^2$−6∗0=0
0 − 0 − 0 = 0
0 = 0
Число 0 не является корнем уравнения.

x = −1
(−1)$^3$−(−1)$^2$−6∗(−1)=0
−1 − 1 + 6 = 0
4 ≠ 0
Число −1 не является корнем уравнения.

x$^3$−x$^2$−6x=0
x = −2
(−2)$^3$−(−2)$^2$−6∗(−2)=0
−8 − 4 + 12 = 0
0 = 0
Число −2 является корнем уравнения.

Ответ: x = 0; −2.

в) x$^3$+6x$^2$+11x+6=0
x = 1
1$^3$+6∗1$^2$+11∗1+6=0
1 + 6 + 11 + 6 = 0
24 ≠ 0
Число 1 не является корнем уравнения.

x = 2
2$^3$+6∗2$^2$+11∗2+6=0
8 + 6 * 4 + 22 + 6 = 0
8 + 24 + 22 + 6 = 0
60 ≠ 0
Число 2 не является корнем уравнения.

x = 0
0$^3$+6∗0$^2$+11∗0+6=0
0 + 0 + 0 + 6 ≠ 0
6 ≠ 0
Число 0 не является корнем уравнения.

x = −1
(−1)$^3$+6∗(−1)$^2$+11∗(−1)+6=0
−1 + 6 − 11 + 6 = 0
0 = 0
Число −1 является корнем уравнения.

x = −2
(−2)$^3$+6∗(−2)$^2$+11∗(−2)+6=0
−8 + 6 * 4 − 22 + 6 = 0
−8 + 24 − 22 + 6 = 0
−30 + 30 = 0
0 = 0
Число −2 является корнем уравнения.

Ответ: x = −1; −2.

г) x$^3$+4x$^2$+x−6=0
x = 1
1$^3$+4∗1$^2$+1−6=0
1 + 4 + 1 − 6 = 0
0 = 0
Число 1 является корнем уравнения.

x = 2
2$^3$+4∗2$^2$+2−6=0
8 + 4 * 4 + 2 − 6 = 0
8 + 16 + 2 − 6 = 0
20 ≠ 0
Число 2 не является корнем уравнения.

x = 0
0$^3$+4∗0$^2$+0−6=0
0 + 0 + 0 − 6 = 0
−6 ≠ 0
Число 0 не является корнем уравнения.

x = −1
(−1)$^3$+4∗(−1)$^2$+(−1)−6=0
−1 + 4 − 1 − 6 = 0
−4 ≠ 0
Число −1 не является корнем уравнения.

x = −2
(−2)$^3$+4∗(−2)$^2$+(−2)−6=0
−8 + 4 * 4 − 2 − 6 = 0
−8 + 16 − 2 − 6 = 0
−16 + 16 = 0
0 = 0
Число −2 является корнем уравнения.

Ответ: x = 1; −2.

Задание 351

Решите уравнение:
а) x$^2$=9;
б) x$^2$=0;
в) |x| = 5;
г) |x| = 0.

Решение

а) x$^2$=9
x = 3 и x = −3

б) x$^2$=0
x = 0

в) |x| = 5
x = 5 и x = −5

г) |x| = 0
x = 0

Задание 352

Докажите, что:
а) корнем уравнения 3x − 6 = 3(x − 2) является любое число;
б) уравнение 3y − 5 = 1 + 3y не имеет корней.

Решение

а) 3x − 6 = 3(x − 2)
3x − 6 = 3x − 6
Равенство верно при любых значениях переменной.

б) 3y − 5 = 1 + 3y
3y −5 = 3y + 1
Уравнение не имеет корней.

Задание 353

Объясните, почему уравнение не имеет корней:
а) x$^2$=−1;
б) |x| = −5;
в) x$^6$+1=0;
г) |x| + 10 = 0.

Решение

а) x$^2$=−1
т.к. x$^2$≥0 при любых значениях переменной, то уравнение не имеет корней.

б) |x| = −5
т.к. |x| ≥ 0 при любых значениях переменной, то уравнение не имеет корней.

в) x$^6$+1=0
x$^2$=−1
т.к. x$^2$≥0 при любых значениях переменной, то уравнение не имеет корней.

г) |x| + 10 = 0
|x| = −10
т.к. |x| ≥ 0 при любых значениях переменной, то уравнение не имеет корней.

Задание 354

Проверьте, что число 10 является корнем уравнения |x| = x, а число −10 его корнем не является. Укажите еще несколько корней этого уравнения. Что представляет собой множество корней уравнения |x| = x?

Решение

|x| = x
x = 10
|10| = 10
10 = 10
Число 10 является корнем уравнения.

x = −10
|−10| = −10
10 ≠ −10
Число −10 не является корнем уравнения.

Корнем данного уравнения являются любые неотрицательные числа, например: 0, 2, 12, 18.
Множеством корней уравнения является множество неотрицательных чисел.

Задание 355

Укажите множество корней уравнения |x| = −x.

Решение

|x| = −x
Множеством корней уравнения является множество неположительных чисел.