Задание 329

Докажите, что число:
а) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37;
б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101.
Подсказка.
Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число, записанное двумя одинаковыми цифрами, можно представить в виде 10a + a.

Решение

а) 100a + 10a + a = 111a = 37 * 3a − делится на 37.

б) 1000a + 100a + 10a + a = 1111a = 11 * 101a − делится на 11.

Задание 330

В последовательности Фибоначи каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .
а) Обозначьте одно из чисел этой последовательности буквой a, следующее за ним − буквой b и запишите в виде буквенного выражения каждое из четырех следующих чисел.
б) Докажите, что сумма любых шести последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 4.
в) Докажите, что сумма любых восьми последовательных чисел в последовательности Фибоначчи делится на 3.

Решение

а) a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b.

б) a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b) = a + b + a + b + a + 2b + 2a + 3b + 3a + 5b = 8a + 12b = 4(2a + 3b) − делится на 4.

в) a + b + (a + b) + (a + 2b) + (2a + 3b) + (3a + 5b) + (5a + 8b) + (8a + 13b) = a + b + a + b + a + 2b + 2a + 3b + 3a + 5b + 5a + 8b + 8a + 13b = 21a + 33b = 3(7a + 11b) − делится на 3.

Задание 331

Докажите равенство:
а) $p(k+p)-2k(p-1)-p^2=2k-2p$;
б) a(b + 1) − c(a + b) + b(c + 1) − (a + b) = ab − ac.

Решение

а) $p(k+p)-2k(p-1)-p^2=pk+p^2-2pk+2k-p^2=2k-pk$
2k − pk ≠ 2k − 2p − равенство неверно

б) a(b + 1) − c(a + b) + b(c + 1) − (a + b) = ab − ac
a(b + 1) − c(a + b) + b(c + 1) − (a + b) = ab + a − ac − bc + bc + bc + b − a − b = ab − ac
ab − ac = ab − ac − равенство верно

Задание 332

Докажите, что если равенство
a/b = c/d − пропорция, то
a+b / b = c+d / d и a−b / b = c−d / d также является пропорциями. Используя доказанное утверждение, составьте две новые пропорции из пропорции 2/3 = 10/15.

Решение

$\frac ab=\frac cd$
$\frac{a+b}b=\frac{c+d}d$
(a + b)d = b(c + d)
ad + bd = bc + bd
ad = bc или $\frac ab=\frac cd$ − утверждение доказано.

$\frac23=\frac{10}{15}$
$\frac{2+3}3=\frac{10+15}{15}$
$\frac53=\frac{25}{15}$

$\frac{15}3=\frac{10}2$
$\frac{15+3}3=\frac{10+2}2$
$\frac{18}3=\frac{12}2$

Задание 333

Автобус прошел расстояние между городами, равное 200 км, за 5 ч. За первый час пути он прошел x км, за второй − на 20 км меньше, а за третий − путь, в 1,5 раза больший, чем за предыдущий час. Сколько километров прошел автобус в оставшееся время?

Решение

x (км) − прошел автобус за первый час;
x − 20 (км) − прошел автобус за второй час;
1,5(x − 20) (км) − прошел автобус за третий час.
200 − (x + (x − 20) + 1,5(x − 20)) = 200 − (x + x − 20 + 1,5x − 30) = 200 − (3,5x − 50) = 200 − 3,5x + 50 = 250 − 3,5x (км) − прошел автобус в оставшееся время.
Ответ: 250 − 3,5x.

Задание 334

Провод разрезали на четыре части так, что длина первой части, равная x м, в 3 раза меньше второй, на 1,5 м меньше третьей и в 2 раза больше четвертой. Какова длина всего провода?

Решение

x (м) − длина 1 части;
3x (м) − длина 2 части;
(x + 1,5) (м) − длина 3 части;
0,5x (м) − длина 4 части.
x + 3x + (x + 1,5) + 0,5x = 4x + x + 1,5 + 0,5x = 5,5x + 1,5 (м) − длина всего провода.
Ответ: 5,5x + 1,5 метров.

Задание 335

В коробке n пуговиц. Их количество удвоили, а затем из коробки вынули дюжину пуговиц. Остаток пуговиц снова удвоили, а затем вновь вынули дюжину пуговиц. Эту операцию проделали и в третий раз. Сколько пуговиц стало в коробке?

Решение

1) 2n − 12 (пуговиц) − стало в 1 раз;
2) 2(2n − 12) − 12 = 4n − 24 − 12 = 4n − 36 (пуговиц) − стало во 2 раз;
3) 2(4n − 36) − 12 = 8n − 72 − 12 = 8n − 84 (пуговиц) − стало в 3 раз.
Ответ: 8n − 84 пуговиц.