Задание 37. Вычислите:
а) $15^2; 20^3; 9^3$;
б) $(\frac{4}{5})^2; (\frac{2}{3})^3; (4\frac{1}{2})^2$;
в) $1,5^2; 2,1^2; 0,5^3$;
г) $(-3)^4; (-4)^3; (-2)^5$;
д) $(-\frac{1}{2})^3; (-\frac{3}{4})^2; (-1\frac{1}{3})^2$;
е) $(-1,5)^2; (-0,2)^3; (-0,1)^5$.
Решение
а) $15^2 = 15 * 15 = 225$;
$20^3 = 20 * 20 * 20 = 8000$;
$9^3 = 9 * 9 * 9 = 729$.
б) $(\frac{4}{5})^2 = \frac{4}{5} * \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$;
$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$;
$(4\frac{1}{2})^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{9}{2} * \frac{9}{2} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$.
в) $1,5^2 = 1,5 * 1,5 = 2,25$;
$2,1^2 = 2,1 * 2,1 = 4,41$;
$0,5^3 = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125$.
г) $(-3)^4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81$;
$(-4)^3 = (-4) * (-4) * (-4) = -64$;
$(-2)^5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = -32$.
д) $(-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) * (-\frac{1}{2}) * (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$;
$(-\frac{3}{4})^2 = (-\frac{3}{4}) * (-\frac{3}{4}) = \frac{9}{16}$;
$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = (-\frac{4}{3}) * (-\frac{4}{3}) = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
е) $(-1,5)^2 = (-1,5) * (-1,5) = 2,25$;
$(-0,2)^3 = (-0,2) * (-0,2) * (-0,2) = -0,008$;
$(-0,1)^5 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = -0,00001$.
Задание 38. Восстановите число, для которого записано разложение на простые множители:
а) $... = 2^2 * 3 * 5^3$;
б) $... = 2 * 3^3 * 5^2$;
в) $... = 2^4 * 3 * 5^2 * 11$.
Решение
а) $2^2 * 3 * 5^3 = 4 * 3 * 125 = 1500$;
$1500 = 2^2 * 3 * 5^3$.
б) $2 * 3^3 * 5^2 = 2 * 27 * 25 = 1350$;
$1350 = 2 * 3^3 * 5^2$.
в) $2^4 * 3 * 5^2 * 11 = 16 * 3 * 25 * 11 = 13200$;
$13200 = 2^4 * 3 * 5^2 * 11$.
Задание 39. Разложите на простые множители число:
а) 72;
б) 96;
в) 400;
г) 300.
Ответ 7 гуру
а) $72 = 8 * 9 = 2^3 * 3^2$
б) $96 = 32 * 3 = 2^5 * 3$
в) $400 = 4 * 100 = 2^2 * 10 * 10 = 2^2 * 2 * 5 * 2 * 5 = 2^4 * 5^2$
г) $300 = 3 * 100 = 3 * 4 * 25 = 3 * 2^2 * 5^2$
Задание 40. Прочитайте в объяснительном тексте, как выполнено вычисление $2^8$.
Найдите:
$5^2, 5^3, 5^4, 5^5$.
Пользуясь полученными результатами, вычислите:
$5^7, 5^{10}, 5^{15}, 5^{20}$.
Решение
$5^2 = 5 * 5 = 25$;
$5^3 = 5 * 5 * 5 = 125$;
$5^4 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625$;
$5^5 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 3125$.
$5^7 = (5 * 5) * (5 * 5 * 5 * 5 * 5) = 5^2 * 5^5 = 25 * 3125 = 78125$;
$5^{10} = (5 * 5 * 5 * 5 * 5) * (5 * 5 * 5 * 5 * 5) = 5^5 * 5^5 = 3125 * 3125 = 9765625$;
$5^{15} = (5 * 5 * 5 * 5 * 5) * (5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5) = 5^5 * 5^{10} = 3125 * 9765625 = 30517578125$;
$5^{20} = (5 * 5 * 5 * 5 * 5) * (5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5) = 5^5 * 5^{15} = 3125 * 30517578125 = 95367431640625$.
Задание 41. Число 64 можно по−разному представить в виде степени:
$64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$.
Запишите разными способами в виде степени следующее число:
а) 16;
б) 81;
в) 256;
г) 625;
д) 729;
е) 1000000.
Решение
а) $16 = 2^4 = 4^2$
б) $81 = 3^4 = 9^2$
в) $256 = 16^2 = 4^4 = 2^8$
г) $625 = 25^2 = 5^4$
д) $729 = 27^2 = 9^3 = 3^6$
е) $1000000 = 10^6 = 100^3 = 1000^2$
Задание 42. Представьте разными способами $3^8$ в виде произведения:
а) двух степеней с основанием 3;
б) трех степеней с основанием 3;
в) четырех степеней с основанием 3.
Решение
а) $3^8 = 3 * 3^7 = 3^2 * 3^6 = 3^3 * 3^5 = 3^4 * 3^4$
б) $3^8 = 3 * 3^2 * 3^5 = 3^2 * 3^2 * 3^4 = 3^2 * 3^3 * 3^3$
в) $3^8 = 3 * 3^2 * 3^2 * 3^3 = 3^2 * 3^4 * 3 * 3$
Задание 43. Запишите в виде степени:
а) с основанием 7 произведения:
$7^2 * 7^8$;
$7^4 * 7^3 * 7^{10}$;
$7 * 7^9 * 7^3$;
$7^m * 7^n$;
б) с основанием a произведения:
$a^5 * a^6$;
$a^{12} * a^2 * a^{5}$;
$a^m * a^n$;
$a^x * a^y * a$.
Решение
а) $7^2 * 7^8 = 7^{2 + 8} = 7^{10}$;
$7^4 * 7^3 * 7^{10} = 7^{4 + 3 + 10} = 7^{17}$;
$7 * 7^9 * 7^3 = 7^{1 + 9 + 3} = 7^{13}$;
$7^m * 7^n = 7^{m+n}$.
б) $a^5 * a^6 = a^{5 + 6} = a^{11}$;
$a^{12} * a^2 * a^{5} = a^{12 + 2 + 5} = a^{19}$;
$a^m * a^n = a^{m + n}$;
$a^x * a^y * a = a^{x + y + 1}$.
Задание 44. Вычислите:
а) $8 + 7^2, (8 + 7)^2, 8^2 + 7^2$;
б) $(11 - 6)^3, 11 - 6^3, 11^3 - 6^3$;
в) $5 * 2^4, (5 * 2)^4, 5^4 * 2^4$;
г) $(14 : 2)^3, 14 : 2^3, 14^3 : 2^3$.
Решение
а) $8 + 7^2 = 8 + 49 = 57$;
$(8 + 7)^2 = 15^2 = 225$;
$8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113$.
б) $(11 - 6)^3 = 5^3 = 125$;
$11 - 6^3 = 11 - 216 = -205$;
$11^3 - 6^3 = 1331 - 216 = 1115$.
в) $5 * 2^4 = 5 * 16 = 80$;
$(5 * 2)^4 = 10^4 = 10000$;
$5^4 * 2^4 = 625 * 16 = 10000$.
г) $(14 : 2)^3 = 7^3 = 343$;
$14 : 2^3 = 14 : 8 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$;
$14^3 : 2^3 = 2744 : 8 = 343$.
Задание 45. Расставьте в выражении $30 : 5 - 10^3$ скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений.
Решение
$30 : 5 - 10^3 = 30 : (5 - 1000) = 30 : (-995) = -\frac{30}{995} = -\frac{6}{199}$;
$30 : (5 - 10^3) = 30 : (-5)^3 = 30 : (-125) = -\frac{30}{125} = -\frac{6}{25}$;
$30 : 5 - 10^3 = (6 - 10)^3 = (-4)^3 = -64$;
$30 : 5 - 10^3 = 6 - 1000 = -994$.
Задание 46. Вычислите:
а) $5 * (-3)^3 + 7$;
б) $-2 * (-1,1)^2 - 15$;
в) $10 - 7 * (-2)^7$;
г) $-20 - 10 * (-0,1)^2$;
д) $7 * (-1)^3 - 4 * (-1)^2 - 8$;
е) $-10 * (0,3)^2 - 5 * (-0,3) + 1$.
Решение
а) $5 * (-3)^3 + 7 = 5 * (-27) + 7 = -135 + 7 = -128$
б) $-2 * (-1,1)^2 - 15 = -2 * 1,21 - 15 = -2,42 - 15 = -17,42$
в) $10 - 7 * (-2)^7 = 10 - 7 * (-128) = 10 + 896 = 906$
г) $-20 - 10 * (-0,1)^2 = -20 - 10 * 0,01 = -20 - 0,1 = -20,1$
д) $7 * (-1)^3 - 4 * (-1)^2 - 8 = 7 * (-1) - 4 * 1 - 8 = -7 - 4 - 8 = -19$
е) $-10 * (0,3)^2 - 5 * (-0,3) + 1 = -10 * 0,09 + 1,5 + 1 = -0,9 + 2,5 = 1,6$
