Задание № 845

Сколько существует трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 3, 4, 5, используя каждую из них только один раз? Какие из них делятся:
а) на 2;
б) на 5;
в) на 3;
г) на 6?

Решение


Всего существует 6 трехзначных чисел: 345, 354, 435, 453, 543, 534, в том числе которые делятся:
а) на 2: 354, 543;
б) на 5: 345, 435;
в) на 3: 345, 354, 435, 453, 543, 534;
г) на 6: 354, 534.

Задание № 846

На рисунке 10.14 изображены пять точек. Если каждые две точки соединить отрезком, то сколько всего получится отрезков? Сделайте рисунок и перечислите их.

Решение


Получится всего 10 отрезков:
AB, AC, AD, AE, BE, BD, BC, CE, CD, ED.

Задание № 847

1) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников − Антона, Петра, Бориса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников соревнования. Сколько этих вариантов?
2) Для участия в эстафете 2×100 м нужно выбрать двух мальчиков из пяти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто − вторым. Перечислите все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов? Можно ли ответить на вопрос задачи, используя результат предыдущей задачи, без выписывания вариантов?

Решение

1) Обозначим мальчиков буквами:
A − Антон;
П − Петр;
Б − Борис;
В − Володя;
К − Коля.
Тогда, можно составить следующие варианты:
АП, АБ, АВ, АК, ПБ, ПВ, ПК, БВ, БК, ВК.
Ответ: 10 вариантов

2) Обозначим мальчиков буквами:
A − Антон;
П − Петр;
Б − Борис;
В − Володя;
К − Коля.
Тогда, можно составить следующие варианты:
АП, АБ, АВ, АК, ПА, ПБ, ПВ, ПК, БА, БП, БВ, БК, ВА, ВП, ВБ, ВК, КА, КП, КБ, КВ − всего 20 вариантов.
Ответить на вопрос можно, используя результат предыдущей задачи, для этого нужно в каждой паре поменять мальчиков местами, тогда получится еще 10 вариантов.
Ответ: 20 вариантов.

Задание № 848

На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих.
1) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов?
Подсказка. Дайте каждому победителю номер от 1 до 6.
2) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?

Решение

1) Обозначим победителей цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Тогда можно составить следующие пары:
12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56.
Ответ: 15 вариантов.

2) Обозначим лучшего цифрой 1.
Тогда можно составить следующие пары:
12, 13, 14, 15, 16.
Ответ: 5 вариантов.

Задание № 849

К переправе одновременно подошли пять человек. Лодочник сказал, что в его лодке поместятся только два пассажира.
1) Сколькими способами можно выбрать двоих пассажиров из пяти?
2) Сколько существует способов выбора пассажиров, если одного из них необходимо срочно отправить на другой берег в больницу?
3) Предположим, что лодочник отвез двоих пассажиров и вернулся за оставшимися. Сколькими способами можно выбрать того, кому придется остаться еще раз?

Решение

1) Обозначим пассажиров цифрами: 1, 2, 3, 4, 5.
Тогда можно составить следующие пары:
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45.
Ответ: 10 способов.

2) Обозначим больного пассажира цифрой 1.
Тогда можно составить следующие пары:
12, 13, 14, 15.
Ответ: 4 способа.

3) 5 − 2 = 3 (пассажира) − осталось, значит трем способами можно выбрать того, кому придется остаться еще раз.
Ответ: 3 способа.

Задание № 850

Танцевальная студия объявила дополнительный набор девочек от 10 до 12 лет. На просмотр пришли 4 девочки. Сколько есть вариантов отбора новеньких у руководителей студии?
Подсказка. Дайте девочкам номера от 1 до 4 и рассуждайте, как в задаче о прожекторах.

Решение

Обозначим девочек цифрами: 1, 2, 3, 4.
Тогда возможны следующие варианты:
возьмут всех 4 девочек: 1234 − 1 вариант;
возьмут 3 девочки из 4: 123, 124, 234, 134 − 4 варианта;
возьмут 2 девочки из 4: 12, 13, 14, 23, 24, 34 − 6 вариантов;
возьмут 1 девочку из 4: 1, 2, 3, 4 − 4 варианта;
никого не возьмут: 1 вариант.
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (вариантов) − возможно всего.
Ответ: 16 вариантов.

Задание № 851

Два курьера фирмы должны забрать почту из четырех филиалов, причем каждый успеет съездить только в два филиала из четырех. Сколькими способами они могут распределить между собой поездки?
Подсказка. Достаточно подсчитать число способов, которыми один курьер может выбрать два филиала из четырех.

Решение

Обозначим цифрами филиалы: 1, 2, 3, 4.
Тогда можно составить следующие способы, которыми один курьер может выбрать два филиала из четырех:
12, 13, 14, 23, 24, 34.
Ответ: всего 6 способов.